マクスウェル方程式

マクスウェル方程式は、電磁場を記述する古典電磁気学の基礎方程式。 マクスウェルの方程式やマックスウェル方程式、マクスウェル-ヘルツの電磁方程式、電磁方程式とも。 イギリスの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルの名にちなむ。

概要

マクスウェル方程式は、電場E,磁場H,電束密度D,磁束密度Bの間に成立する、4つの方程式である。 微分形や積分形で表現できる。偏微分・ベクトル解析や周回積分・面積分・体積積分などを含む。

各方程式

マクスウェル-ガウスの式

電場の源は電荷であり、電荷の無いところでの電束保存を示している。電場のガウスの法則。

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐃}=\rho$(微分形,ベクトル解析)

${\oint }_S\mathbf{𝐃}\cdot d\mathbf{𝐒}=\underset{V}{\int }\rho dV$(積分形)

ここで、dSは閉曲面S上の面素片ベクトルであり、Vは閉曲面Sに囲まれた空間(体積)であり、ρは電荷密度である。

$-\mathrm{\Re }(\mathrm{\nabla }D)=\rho$(微分形,四元数)

磁束保存の式

磁力線はどこかを起点とすることも終点とすることもできない。すなわち磁気単極子（モノポール）が存在しないことを示している。磁場のガウスの法則。

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐁}=0$(微分形,ベクトル解析)

${\oint }_S\mathbf{𝐁}\cdot d\mathbf{𝐒}=0$(積分形,ベクトル解析)

ここで、dSは閉曲面S上の面素片ベクトルである。

$\mathrm{\Re }(\mathrm{\nabla }B)=0$(微分形,四元数)

ファラデー-マクスウェルの式

磁場の時間変化があるところには巻いた電場があることを示している。導線の動きがない場合のファラデーの電磁誘導の法則に相当する。

$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{𝐄}=-\frac{\partial \mathbf{𝐁}}{\partial t}$(微分形)

${\oint }_C\mathbf{𝐄}\cdot d\mathbf{𝐥}=-\underset{S}{\int }\left(\frac{\partial \mathbf{𝐁}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{𝐒}$(積分形)

ここで、dlは閉曲線C上の線素片ベクトルであり、Sは閉曲線Cに囲まれた曲面であり、dSは曲面S上の面素片ベクトルである。

$\mathrm{\Im }(\mathrm{\nabla }E)=-\frac{\partial B}{\partial t}$(微分形,四元数)

アンペール-マクスウェルの式

電流または変位電流の周りには磁場が巻いていることを示す。変位電流を加えた、アンペールの法則に相当する。

$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{𝐇}=\mathbf{𝐣}+\frac{\partial \mathbf{𝐃}}{\partial t}$(微分形)

${\oint }_C\mathbf{𝐇}\cdot d\mathbf{𝐥}=\underset{S}{\int }(\mathbf{𝐣}+\frac{\partial \mathbf{𝐃}}{\partial t})\cdot d\mathbf{𝐒}$(積分形)

ここで、dlは閉曲線C上の線素片ベクトルであり、Sは閉曲線Cに囲まれた曲面であり、dSは曲面S上の面素片ベクトルであり、jは電流密度である。

$\mathrm{\Im }(\mathrm{\nabla }H)=\mathbf{𝐣}+\frac{\partial D}{\partial t}$(微分形,四元数)

構成方程式

構成方程式は、電場Eと電束密度Dと真空の誘電率ε0と分極P、あるいは、磁場Hと磁束密度Bと真空の透磁率μ0と磁化M、の間に成立する方程式である。

$\mathbf{𝐃}={ϵ}_0\mathbf{𝐄}+\mathbf{𝐏}$

$\mathbf{𝐇}={\mu }_0^{-1}\mathbf{𝐁}-\mathbf{𝐌}$

真空中では、P=0,M=0なので幾分簡単になる。

四元数による式の簡略化

各方程式の四元数(微分形)表記

• $-\mathrm{\Re }(\mathrm{\nabla }D)=\rho$
• $\mathrm{\Re }(\mathrm{\nabla }B)=0$
• $\mathrm{\Im }(\mathrm{\nabla }E)=-\frac{\partial B}{\partial t}$
• $\mathrm{\Im }(\mathrm{\nabla }H)=\mathbf{𝐣}+\frac{\partial D}{\partial t}$

のDとHを、分極と磁化のない(真空中)構成方程式

• $\mathbf{𝐃}={ϵ}_0\mathbf{𝐄}$
• $\mathbf{𝐇}={\mu }_0^{-1}\mathbf{𝐁}$

を用いて、EとBに変形する。

• $\mathrm{\Re }(\mathrm{\nabla }E)=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$
• $\mathrm{\Re }(\mathrm{\nabla }B)=0$
• $\mathrm{\Im }(\mathrm{\nabla }E)=-\frac{\partial B}{\partial t}$
• $\mathrm{\Im }(\mathrm{\nabla }B)={\mu }_0\mathbf{𝐣}+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial E}{\partial t}$

EとBの実部・虚部をそれぞれ合わせて、

• $\mathrm{\nabla }E=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}-\frac{\partial B}{\partial t}$
• $\mathrm{\nabla }B={\mu }_0\mathbf{𝐣}+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial E}{\partial t}$

となる。 さらに、電荷と電流がなければ(真空中)

• $\mathrm{\nabla }E=-\frac{\partial B}{\partial t}$
• $\mathrm{\nabla }B={ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial E}{\partial t}$

である。2式の両辺に∇をかければ、

• ${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-{ϵ}_0{\mu }_0\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$
• ${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-{ϵ}_0{\mu }_0\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t^2}$

となる。これは、ベクトル解析における波動方程式によく似ている。

関連項目

• ベクトル解析／ベクトル
• 微分方程式／微分／積分
• ガウスの定理／ストークスの定理
• 電磁波
• ラプラス方程式／ポアソン方程式
• ヘルムホルツ方程式
• 波動方程式
• ガリレイ変換／ローレンツ変換
• 相対性理論