ガリレイ変換

ガリレイ変換とはある慣性系における物理現象の記述を、別の慣性系での記述に変換するための座標変換の方法の一つ。

古典力学

どのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つという主張であり絶対的な時空を考える、ガリレイの相対性原理(ガリレイ相対性理論,ガリレイ不変性)と関わりが深い。 古典力学の基礎であるニュートンの運動方程式は座標の2回微分や定数しか含まない。 そのため、ガリレイ変換はニュートンの運動方程式を不変に保つので、ガリレイ変換の前後でニュートン力学の法則は不変に保たれる。

数式化

$x,y,z,t$で表せられる座標の系$S$を$x^{\text{'}},y^{\text{'}},z^{\text{'}},t^{\text{'}}$で表せられる座標の系$S^{\text{'}}$に変換することを考える。
系$S^{\text{'}}$は、系$S$上で$x,y,z$それぞれの方向に速度$V_x,V_y,V_z$で移動している観測者から見た系とする。 簡単のため、時間$t$と$t^{\text{'}}$の基準は同一とする。
以上を数式で表すと以下のようになる。

• $x^{\text{'}}=x-t{V}_x$
• $y^{\text{'}}=y-t{V}_y$
• $z^{\text{'}}=z-t{V}_z$
• $t^{\text{'}}=t$(時間の基準は同一)

以上の位置の式を時間で1回微分して速度を得ると
(ただし、系$S$上でのある物体の速度を$v_x,v_y,v_z$として、 系$S^{\text{'}}$上でのある物体の速度を$v_x^{\text{'}},v_y^{\text{'}},v_z^{\text{'}}$とする。)

• $v_x^{\text{'}}=v_x-V_x$
• $v_y^{\text{'}}=v_y-V_y$
• $v_z^{\text{'}}=v_z-V_z$

このようにガリレイ変換できる系では、速度は速度の単純な足し算・引き算で記述できる。
さらに、以上の速度の式を時間でもう1回微分して加速度を得ると
(ただし、系$S$上でのある物体の速度を$a_x,a_y,a_z$として、 系$S^{\text{'}}$上でのある物体の速度を$a_x^{\text{'}},a_y^{\text{'}},a_z^{\text{'}}$とする。)

• $a_x^{\text{'}}=a_x$
• $a_y^{\text{'}}=a_y$
• $a_z^{\text{'}}=a_z$

このようにガリレイ変換できる系では、加速度は同一になる。
また、空間の座標については同じことなので以上の数式はベクトルを使用して書くと簡単になる。
(ただし、位置を$\mathit{r}=(x,y,z)$とした。他の表記は上記に従う。)

• ${\mathit{r}}^{\text{'}}=\mathit{r}-t\mathit{V}$
• ${\mathit{v}}^{\text{'}}=\mathit{v}-\mathit{V}$
• ${\mathit{a}}^{\text{'}}=\mathit{a}$

相対性理論

古典力学とは異なり、相対性理論が扱う光速に近い速度の関わる物理現象などでは、安易にガリレイ変換を適用できない。 ガリレイ変換は相対論的運動方程式やマクスウェルの方程式を不変に保たないため、光速に近い速度の関わる物理現象に適用すると現実の物理法則と乖離する。 相対論的効果も考慮した変換にはローレンツ変換があって、こちらではマクスウェルの方程式なども不変に保つ。