ニュートンの運動方程式

物理学の古典力学分野に於けるニュートンの運動方程式とは17〜18世紀の数学者・物理学者であるアイザック・ニュートンが導入したマクロな物体の運動を支配する微分方程式である。同じく彼が創始した運動の第2法則で登場する。

概要

上記運動方程式は以下の如き2階微分方程式で与えられる。；

• $m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {F}}$

ここで左辺のmは物体の質量を、${\boldsymbol {r}}=(x,y,z)$は位置ベクトル、右辺の${\boldsymbol {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})$は外力ベクトルを表している。(変数tは時間を表わす。) 従ってニュートンの運動方程式は加速度ベクトルが外力ベクトルに比例し質量に反比例している事を主張している。

ちなみに時間微分をドット記号「・」で表す事にすれば上記方程式は

• $m{\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {F}}$

と簡潔に表現する事ができる。

使用例

慣性の法則の導出

上述の方程式に於いて外力が働いていない、即ち${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$ である場合を考えてみる。この時 ${\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {0}}$ だからこの両辺を積分する事により

${\dot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {C_{1}}}$、${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {C_{1}}}t+{\boldsymbol {C_{2}}}$

が成り立つ(添字付Cは積分定数ベクトルである)。ここで初期条件を

${\dot {\boldsymbol {r}}}(0)={\dot {\boldsymbol {r_{0}}}}$、${\boldsymbol {r}}(0)={\boldsymbol {r_{0}}}$

とおけば

${\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {r_{0}}}}$、${\boldsymbol {r}}={\dot {\boldsymbol {r_{0}}}}t+{\boldsymbol {r_{0}}}$

即ち${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r_{0}}}={\dot {\boldsymbol {r_{0}}}}t$が得られる。これを成分表示して時間tを消去すれば

${\frac {x-x_{0}}{\dot {x_{0}}}}={\frac {y-y_{0}}{\dot {y_{0}}}}={\frac {z-z_{0}}{\dot {z_{0}}}}$

が導かれる。この等式は三次元空間に於ける直線の方程式であり外力が働いてない物体は等速直線運動を行うとゆー事(慣性の法則=運動の第1法則)を表わしている。

運動量

運動量なる物理量${\boldsymbol {p}}$は${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ にて定義される。右辺の${\boldsymbol {v}}$は速度ベクトルでありこれを微分したら ${\dot {\boldsymbol {v}}}={\ddot {\boldsymbol {r}}}$となるからニュートンの運動方程式は

${\dot {\boldsymbol {p}}}=m{\dot {\boldsymbol {v}}}={\boldsymbol {F}}$

とも書ける。