運動量

運動量とは、物理学で扱う物理量の一つである。

古典力学的運動量

古典力学においては、ニュートンの運動方程式から運動量保存則が導かれる。

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f$(ニュートンの運動方程式,$m$:質量,$x$:変位,$t$:時間,$f$:外力)

外力が働いていないとき、

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0$

なので、両辺を時間で一回積分して

$m{\frac {dx}{dt}}=const$

速度$v$は、$v={\frac {dx}{dt}}$なので、定数を$P_{0}$と置いて

$mv=P_{0}$

となり、運動量が$P=mv$は時間に依らずに一定($P_{0}$)である(保存する)。

外力が働く場合は、

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f$

の両辺を時間で一回積分して

$mv=ft+P_{0}$

ここで、$ft$は力積と呼ばれる。

量子力学的運動量

光の運動量

量子力学においては、古典力学のように$P=mv$と表せられるとは限らない。 光は質量が零でかつ有限の速度と運動量をもっているため、$P=mv$が成立しないことがわかる。 質量を用いずに光の運動量は以下のようになる。

$P={\frac {h\nu }{v}}={\frac {h}{\lambda }}$($h$:プランク定数,$\nu$:振動数,$v$:光速,$\lambda$波長)

ここで、光のエネルギーは$E=h\nu$であり、運動量はエネルギーを速度で割った次元をもつことになる。 光と物質の相互作用のうち運動量が深くかかわっているものには、コンプトン効果がある。

物質波の運動量

上記の光の運動量の表式は、質量も持つ物質の物質波についても成立する。 質量と速度が分かっていれば古典力学的な運動量が得られ、それは量子力学的な運動量を一致するはずだから逆説的に物質波の波長がわかる。

$mv=P={\frac {h}{\lambda }}\to \lambda ={\frac {h}{P}}={\frac {h}{mv}}$

ここで、質量をもつ物質の運動エネルギーは$E={\frac {1}{2}}mv^{2}$であるが、運動量はエネルギーを速度で割ったものになっているだろうか？

$P=mv={\frac {mv^{2}}{v}}$となって、次元はあっているものの2倍ズレているように見える。

これは、速度には2種類あって位相速度$v_{p}$と群速度$v_{g}$を混同していることによる間違いである。

つまり、波としての速度が位相速度であって$v_{p}=\nu \lambda$であり、 物質としての速度が群速度であって$P=mv_{g}$や$E={\frac {1}{2}}mv_{g}^{2}$の速度である。 よって

$P=mv_{g}={\frac {{\frac {1}{2}}mv_{g}^{2}}{v_{p}}}\to v_{g}=2v_{p}$

$P={\frac {h\nu }{v_{p}}}={\frac {h}{\lambda }}$($h$:プランク定数,$\nu$:振動数,$v_{p}$:位相速度,$\lambda$波長)

また、エネルギーは$E={\frac {1}{2}}mv_{g}^{2}={\frac {(mv_{g})^{2}}{2m}}={\frac {P^{2}}{2m}}$となる。

波数との関係

$P={\frac {h}{\lambda }}$なので、波数$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$と換算プランク定数$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$を用いて

$P=\hbar k$

となる。換算プランク定数倍ズレているだけなので、運動量と波数はしばしば同一視され、運動量空間と波数空間も同一視されることがある。

また、角周波数$\omega =2\pi \nu$を用いて、エネルギーは

$E=h\nu =\hbar \omega$

これと

$E={\frac {P^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$

より

$\omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}$

さらに位相速度と群速度は

$v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}$

$v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {\hbar k}{m}}$

となって

$v_{g}=2v_{p}$

を満たす。

関連項目

• 力積
• 波数