ポアソン方程式

ポアソン方程式は、2階線形の楕円型偏微分方程式である。フランスの数学者・物理学者シメオン・ドニ・ポアソンから名づけられた。

概要

$\nabla ^{2}u=\Delta u=f$

である。ここで、∇^2=Δはラプラシアン（ラプラス作用素、ラプラス演算子）である。 ∇はベクトル解析のナブラである。

特にfが恒等的に0である場合には、ラプラス方程式に帰着されて、そうでないものをポアソン方程式として扱うことが多い。 ポアソン方程式は電磁気学、移動現象論、流体力学といった物理学の諸領域において、系を記述する基礎方程式として現れる。 fが恒等的に0でないときのu、つまり、電荷分布を与えたときの静電ポテンシャルや質量分布を与えたときの重力ポテンシャル、熱の発生源が存在する場合の温度分布や物質の発生・消滅源が存在する場合の物質濃度分布などで、時間に依存性しない定常状態を記述する方程式はポアソン方程式となる。 以上の例では3次元以下を扱うことが多い。そして3次元では以下のように表される。

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)u(x,y,z)=f(x,y,z)$

つまり、ラプラシアンが以下のようであるということ。

$\nabla ^{2}=\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

一般にn次元では、変数がx,y,zではなくn個あると考えれば良い。

関連項目

• 微分方程式
• ラプラス方程式
• グリーン関数
• ヘルムホルツ方程式