ラプラス方程式

ラプラス方程式は、2階線形の楕円型偏微分方程式である。発見者であるピエール＝シモン・ラプラスから名づけられた。

概要

$\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi =0$

である。ここで、∇^2=Δはラプラシアン（ラプラス作用素、ラプラス演算子）である。 ∇はベクトル解析のナブラである。

ラプラス方程式の解は、電磁気学、天文学、流体力学など自然科学の多くの分野で重要であり、 ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。 ラプラス方程式には時間に当たる変数tがないので、定常状態を表す偏微分方程式であり、初期条件はなく境界条件だけが必要である。 電荷分布のない一様な媒質中の静電ポテンシャルや、熱伝導など拡散方程式の定常な場合などがこの方程式で表される。 以上の例では3次元以下を扱うことが多い。そして3次元では以下のように表される。

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\phi (x,y,z)=0$

つまり、ラプラシアンが以下のようであるということ。

$\nabla ^{2}=\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

一般にn次元では、変数がx,y,zではなくn個あると考えれば良い。

関連項目

• 微分方程式
• ポアソン方程式
• グリーン関数
• ヘルムホルツ方程式
• 波動方程式