波動方程式

波動方程式は、定数係数2階線形偏微分方程式である。音波、水面の波紋、電磁波などの様々な振動・波動現象を記述する。

概要

${\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}u=\Delta u$

である。ここで、∇^2=Δはラプラシアン（ラプラス作用素、ラプラス演算子）である。 ∇はベクトル解析のナブラである。 sは位相速度である。例えば、電磁波では光速c、など。

波動方程式は、流体力学、弾性体力学が扱う、弦、膜、空気、水など媒質の振動現象記述する。 ただし、例外として電磁波は、媒質の振動現象と同じく波動方程式で記述されるが、媒質が存在せず、 正確に取り扱うには特殊相対性理論を考慮された電磁気学の議論が必要である。 以上の例では3次元以下を扱うことが多い。そして3次元では以下のように表される。

${\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,y,z)=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)u(x,y,z)$

つまり、ラプラシアンが以下のようであるということ。

$\nabla ^{2}=\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

一般にn次元では、変数がx,y,zではなくn個あると考えれば良い。
例えば、弦の振動は1次元で、膜の振動は2次元で記述される。

関連項目

• 微分方程式
• ポアソン方程式
• ラプラス方程式
• ヘルムホルツ方程式
• 電信方程式
• 拡散方程式
• ダランベールの式
• マクスウェル方程式