偏微分法

数学の微積分学分野に於ける偏微分法とはニ変数以上の所謂多変数関数$f=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$の微分を考察する学問である。

概要

記述を簡潔にするために主として2、3変数関数に関して述べる。(それ以上の多変数関数についても考え方は大体同じなんでそこんとこ世露死苦☆)

2変数関数$z=f(x,y)$に対し或るxy平面上の領域において極限

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$

が存在する時その極限値を変数に関する偏導関数といい

$f_x,f_x(x,y),\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial x}$

といった記号で表わす。偏導関数を求める事を「偏微分する」と言う。

大雑把に言ったら偏導関数を求める事とは多変数関数において(他の変数を定数と考えて)特定の変数(上述の場合はx)に関して微分する事である。

変数yに関する偏微分もxの場合と同様に定義され

$f_y,f_y(x,y),\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial z}{\partial y}$

っちゅー記号で表される。まぁ要するに基本的に(1変数関数の)微分＆導関数と似たような概念であり、微分係数に相当する偏微分係数も1変数の時と同様に定義される。

偏微分の公式

偏微分は他の変数を定数と考えるだけでそれ以外は普通の微分とそんなには変わらんので線形性が成り立つのは勿論各種公式も1変数関数の微分法と類似の公式が成り立つ事が多い(証明もほぼ同様)。

例えば「変数yに関する商の偏微分法」は

${\left(\frac{f}{g}\right)}_y=\frac{f_y\cdot g-f\cdot g_y}{g^2}$

とゆー風に表される(f,gはx,yの2変数関数)。証明も商の微分法と殆んどおんなじ。

以下に述べる所謂合成関数の偏微分法も合成関数の微分法とほぼ同様なんだが復習がてら導出しておこう。

合成関数$f=f(\varphi ),\varphi =\varphi (x,y)$を考えて、fのy座標方向の微小変化を$(\mathrm{\Delta }f{)}_y$と書く事にすると

$\frac{(\mathrm{\Delta }f{)}_y}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{f(\varphi (x,y+\mathrm{\Delta }y))-f(\varphi (x,y))}{\mathrm{\Delta }\varphi }\cdot \frac{\varphi (x,y+\mathrm{\Delta }y)-\varphi (x,y)}{\mathrm{\Delta }y}$

を得る。ここで$\mathrm{\Delta }\varphi =\varphi (x,y+\mathrm{\Delta }y)-\varphi (x,y)$であり移項したら$\varphi (x,y+\mathrm{\Delta }y)=\varphi +\mathrm{\Delta }\varphi$だから

$\begin{array}{rl}\frac{(\mathrm{\Delta }f{)}_y}{\mathrm{\Delta }y}& =\frac{f(\varphi +\mathrm{\Delta }\varphi )-f(\varphi )}{\mathrm{\Delta }\varphi }\cdot \frac{\varphi (x,y+\mathrm{\Delta }y)-\varphi (x,y)}{\mathrm{\Delta }y}\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }\varphi }\cdot \frac{(\mathrm{\Delta }\varphi {)}_y}{\mathrm{\Delta }y}\to \frac{df}{d\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial y},(\mathrm{\Delta }y\to 0)\end{array}$

が成り立つ。(※$\mathrm{\Delta }\varphi =(\mathrm{\Delta }\varphi {)}_y$である事に注意！)変数xに関する偏微分も同様の事が言えるので以下の公式が導かれた事になる。//；

• $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{df}{d\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathrm{\&}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{df}{d\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial y}$

全微分

関数$z=f(x,y)$を点$(x_0,y_0)$でxに関して偏微分する(即ち偏微分係数を求める)事は曲面$f(x,y)$をx軸に平行な平面で切った時に出来る切り口の曲線の接線の傾きを求めるよーなもんであり上記曲面を近似してるとは言えない。(曲面を近似するのは接線じゃなくて接平面！)

以下では関数$f(x,y)$のxとy両方動かした時のfの無限小変化である全微分を求める事にする。この全微分こそが本来の意味に於ける「多変数関数の微分」である。

上記2変数関数の微小変化を$\mathrm{\Delta }f$と書く事にすると

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }f& =f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)\\ & =\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y+\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }x}\mathrm{\Delta }x+\frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }y}\mathrm{\Delta }y\end{array}$

が成り立つ(数学的にあんまり厳密な議論じゃないけど悪しからず)。

ここで$(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (dx,dy)$の極限をとると

• $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

が導かれる。// ${\displaystyle }$

3変数関数$f=f(x,y,z)$の全微分の導出法も同様であり

$\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y,z+\mathrm{\Delta }z)-f(x,y,z)$

とおいて

$f(x,y+\mathrm{\Delta }y,z+\mathrm{\Delta }z),f(x,y,z+\mathrm{\Delta }z)$

を引いて足して$\mathrm{\Delta }x$等を掛けて割るっちゅー計算したら以下の極限が導ける。//

• $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

※n変数関数$f=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$に関しても上記と同様に偏微分の定義式を作っていったら

• $df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i=\sum _{i=1}^n{f}_{x_i}d{x}_i$

が得られる。

また位置ベクトルrの微小変化drを

$d\mathit{r}=(d{x}_1,d{x}_2,\cdots ,d{x}_n)$

で表わし上記n変数関数の勾配を

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_n})$

で表わす事にすればスカラー積を用いる事により上述の全微分は

• $df=\mathrm{\nabla }f\cdot d\mathit{r}$

と表現する事ができる。

更にdxの添え字を右上に書いてディラックの記法及びアインシュタインの規約を使えば

• $df=f{,}_{\mu }d{x}^{\mu }$

と表わす事もできる。(表現大袈裟過ぎwww)

連鎖法則

全微分の公式

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

に於いて形式的に「両辺$÷dt$」やったら2変数関数の合成関数の微分法の1つ

• $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

が得られる。この等式は変数tに関する微分を「・」で表わして略記すれば

• $\dot{f}=f_x\dot{x}+f_y\dot{y}$

とも書ける。この公式は連鎖法則と呼ばれる。

上述の公式は合成関数$f=f(x(t),y(t))$の微分公式であるが、2変数関数fが

$f=f(x(u,v),y(u,v))$

っちゅー合成関数の場合これの偏微分は上記連鎖法則より以下の如き公式で表される。；

• $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

• $\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$

これらの公式も連鎖法則と呼ばれている。略記は以下の通り。；

• $f_u=f_x{x}_u+f_y{y}_u,f_v=f_x{x}_v+f_y{y}_v$

以上で述べた事柄と同じ要領で3変数以上の多変数関数に対しても対応する連鎖法則が導けるんだが記述が煩雑になるんで割愛させてもらう。

次に

$x=x(u,v),y=y(u,v)$

及び

$u=u(s,t),v=v(s,t)$

なる合成関数を考える。上述の連鎖法則より

$\{\begin{array}{l}{x}_s=x_u{u}_s+x_v{v}_s,x_t=x_u{u}_t+x_v{v}_t\\ y_s=y_u{u}_s+y_v{v}_s,y_t=y_u{u}_t+y_v{v}_t\\ \end{array}$

が成り立つが、これは行列を用いて

$\left(\begin{array}{cc}{x}_s& x_t\\ y_s& y_t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{u}_s& u_t\\ v_s& v_t\end{array}\right)\cdots (1)$

と表わせる。ここで$x=s,y=t$とおけば

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)\cdots (2)$

が得られる。上記の右辺の2行列は互いに逆行列の関係であるから

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)& ={\left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)}^{-1}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\left(\begin{array}{cc}{y}_v& -x_v\\ -y_u& x_u\end{array}\right)\end{array}$

が言える。(※$\mathrm{\Delta }=x_u{y}_v-y_u{x}_v$(行列式))

※突然だがここで関数$f=f(x,y),g=g(x,y)$に対して正方行列

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_x& f_y\\ g_x& g_y\end{array}\right)$

を(2次の)ヤコビ行列といい、この行列の行列式をヤコビアンまたはヤコビ行列式と呼ぶ。

上記の関数f、gのヤコビアンは$J(x,y),\frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)}$といった記号で表わされる。

さて、上述の(行列の)等式(1)の両辺に行列式を取るとヤコビアンの記号を用いる事により

• $\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\frac{\partial (u,v)}{\partial (s,t)}$

が得られる。これを合成写像の微分法と呼ぶ。

また、(2)の両辺に行列式を取れば

• $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=1$

が求まる。これは逆写像の微分法と呼ばれる。

※上記中の式変形に於いて行列式の以下の性質を用いた。

$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$

$\det (E)=1$

ここでA、Bは二次正方行列、Eは二次単位行列を表わす。

高階偏導関数

普通の微分法と同様に偏微分を繰り返す事によって所謂2階以上の偏導関数を考える事ができる。

例えば$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$を変数xでもう1回偏微分したら

$f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$

とゆー風に、変数yでもう一度偏微分したら

$f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

とゆー風に「2階偏導関数」を求める事ができる。以下同様の事を行えば「n階偏導関数」を求める事もできるのだが偏微分の順番には要注意。例えば$f=f(x,y,z)$の場合$f_{xyz}$と$f_{zxy}$などは同じ3階偏導関数でも(一般的には)形が異なる。

しかし関数$f=f(x,y)$が2回連続偏微分可能である場合は以下の如き定理が成り立つ事が知られている (ヤングの定理またはシュヴァルツの定理などと呼ばれてる)。

• $f_{xy}=f_{yx}$

証明 天下りであるが以下の如き関数値の式

$\mathrm{\Delta }=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)+f(x_0,y_0)$

を考えれば(変数xの)1変数関数

$\varphi (x)=f(x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y_0)$

を考える事により

$\mathrm{\Delta }=\varphi (x_0+\mathrm{\Delta }x)-\varphi (x_0)$

が言える。で、φ(x)を微分したら

${\varphi }^{\prime }(x)=f_x(x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f_x(x,y_0)$

が成り立つ。すると平均値の定理より

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }& ={\varphi }^{\prime }(x_0+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x\\ & =\{f_x(x_0+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f_x(x_0+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y_0)\}\mathrm{\Delta }x\\ & =f_{xy}(x_0+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y_0+{\theta }_2\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\end{array}$

が求まる。次に、今度は変数yの1変数関数ψ(y)とその微分

$\psi (y)=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x_0,y)$

${\psi }^{\prime }(y)=f_y(x_0+\mathrm{\Delta }x,y)-f_y(x_0,y)$

を考える事により

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }& =\psi (y_0+\mathrm{\Delta }y)-\psi (y_0)\\ & ={\psi }^{\prime }(y_0+{\theta }_3\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y\\ & =\{f_y(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+{\theta }_3\mathrm{\Delta }y)-f_y(x_0,y_0+{\theta }_3\mathrm{\Delta }y)\}\mathrm{\Delta }y\\ & =f_{yx}(x_0+{\theta }_4\mathrm{\Delta }x,y_0+{\theta }_3\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }x\end{array}$

が得られる。

(※ただし$0<\mathrm{\exists }{\theta }_i<1,(i=1,2,3,4)$。)

で、この2つのΔの式は仮定により連続であるから $(\mathrm{\Delta }÷\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y)$の割り算した後に極限

$(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)$

をとれば

$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$

が導かれる。そして2つの定数$x_0,y_0$を変数$x,y$に置き換えれば定理の等式が得られる。(証明終)