内積

数学の線形代数に於ける内積とはベクトルの掛け算の一種である。演算記号の形から点乗積、ドット積とも呼ばれる。(演算結果が数となるからかスカラー積とゆー別名もある。)

概要

2つのベクトル${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}$に対し内積は以下の等式にて定義される。；

• ${\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}=|{\boldsymbol {A}}||{\boldsymbol {B}}|\cos {\theta }$

(θは上記ベクトルが成す角である。)

このベクトルを成分表示して

${\boldsymbol {A}}=(A_{x},A_{y},A_{z}),{\boldsymbol {B}}=(B_{x},B_{y},B_{z})$

とおこう。ここで三角関数の余弦定理より

$|{\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}}|^{2}=|{\boldsymbol {A}}|^{2}+|{\boldsymbol {B}}|^{2}-2|{\boldsymbol {A}}||{\boldsymbol {B}}|\cos {\theta }$

が成り立つが、これを上記の成分表示に用いると上式の左辺は $(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}+(A_{z}-B_{z})^{2}$ となり、右辺は $A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}+B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{x}^{z}-2({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}})$ となる。この左辺を展開すれば

• ${\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$

とゆー風に内積の計算公式が得られる。//

関連項目

• 外積