内積

数学の線形代数に於ける内積とはベクトルの掛け算の一種である。演算記号の形から点乗積、ドット積とも呼ばれる。(演算結果が数となるからかスカラー積とゆー別名もある。)

概要[編集]

2つのベクトル $A, B$ に対し内積は以下の等式にて定義される。；

$A \cdot B = | A | | B | \cos θ$

(θは上記ベクトルが成す角である。)

このベクトルを成分表示して

A = (A_{x}, A_{y}, A_{z}), B = (B_{x}, B_{y}, B_{z})

とおこう。ここで三角関数の余弦定理より

| A - B |^{2} = | A |^{2} + | B |^{2} - 2 | A | | B | \cos θ

が成り立つが、これを上記の成分表示に用いると上式の左辺は $(A_{x} - B_{x})^{2} + (A_{y} - B_{y})^{2} + (A_{z} - B_{z})^{2}$ となり、右辺は $A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2} + B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{x}^{z} - 2 (A \cdot B)$ となる。この左辺を展開すれば

$A \cdot B = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}$

とゆー風に内積の計算公式が得られる。//

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