合成関数の微分法
数学の微積分学分野に於ける合成関数の微分法とは合成関数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (f \circ g)(x)=f(g(x))} の微分に関する定理である。格好付けて連鎖律や連鎖法則などと呼ばれる事もある。
概要[編集]
数式で書くとこんな感じ。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(g(x))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)}
ライプニッツ記法で書く事にしたら
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}}
分数の約分みたいな形に書ける。
証明[編集]
※厳密な証明ではないので悪しからず。(詳しくはウィキペディアでも見てちょ☆)
微分の定義式より 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta g} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}} が言える。ここで
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Delta g=g(x+\Delta x)-g(x)}
であるが(※構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \Delta x \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta g \rightarrow 0} が成り立つ。)これを移項して
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g=g+\Delta g}
と書けば極限 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{\Delta f}{\Delta x} &=\frac{f(g+\Delta g)-f(g)}{\Delta g} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\&=\frac{\Delta f}{\Delta g}\frac{\Delta g}{\Delta x} \rightarrow \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx} , (\Delta x \rightarrow 0) \end{align}} が導かれる。(略証終)
使用例[編集]
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}} の微分を考える。この両辺をn乗したら構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y^n=x} となるがこれを微分すれば合成関数の微分法より構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ny^{n-1}y'=1} が成り立つ。従って
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y'=\frac{1}{ny^{n-1}}=\frac{1}{n}y^{1-n}=\frac{1}{n}x^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}}
が言える。
次に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=\sqrt[n]{x^m}} という関数の微分を考えよう。これは 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle y=x^{\frac{m}{n}}=(x^{\frac{1}{n}})^m} と書けるから合成関数の微分法より
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} y' &=m(x^{\frac{1}{n}})^{m-1} \cdot \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} \\&=\frac{m}{n}x^{\frac{m-1}{n}+\frac{1-n}{n}}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} \end{align}}
が導かれる。ゆえに冪関数の微分公式は冪乗の値が有理数の場合でも成り立つ事が分かった。
従って任意の有理数ｒに対し次の定理が成り立つ。；
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x^r)'=rx^{r-1}}
高等学校の数学[編集]
数学Ⅲで教える。