合成関数の微分法

数学の微積分学分野に於ける合成関数の微分法とは合成関数$(f\circ g)(x)=f(g(x))$の微分に関する定理である。格好付けて連鎖律や連鎖法則などと呼ばれる事もある。

概要

数式で書くとこんな感じ。

• $f(g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

ライプニッツ記法で書く事にしたら

• $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

分数の約分みたいな形に書ける。

証明

※厳密な証明ではないので悪しからず。(詳しくはウィキペディアでも見てちょ☆)

微分の定義式より $\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(g(x+\mathrm{\Delta }x))-f(g(x))}{\mathrm{\Delta }g}\cdot \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$ が言える。ここで

$\mathrm{\Delta }g=g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)$

であるが(※$\mathrm{\Delta }x\to 0\Rightarrow \mathrm{\Delta }g\to 0$が成り立つ。)これを移項して

$g(x+\mathrm{\Delta }x)=g(x)+\mathrm{\Delta }g=g+\mathrm{\Delta }g$

と書けば極限 $\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}& =\frac{f(g+\mathrm{\Delta }g)-f(g)}{\mathrm{\Delta }g}\cdot \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }g}\frac{\mathrm{\Delta }g}{\mathrm{\Delta }x}\to \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx},(\mathrm{\Delta }x\to 0)\end{array}$ が導かれる。(略証終)

使用例

$y=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$の微分を考える。この両辺をn乗したら$y^n=x$となるがこれを微分すれば合成関数の微分法より$n{y}^{n-1}{y}^{\prime }=1$が成り立つ。従って

$y^{\prime }=\frac{1}{n{y}^{n-1}}=\frac{1}{n}{y}^{1-n}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}$

が言える。

次に$y=\sqrt[n]{x^m}$という関数の微分を考えよう。これは $y=x^{\frac{m}{n}}=(x^{\frac{1}{n}}{)}^m$と書けるから合成関数の微分法より

$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =m(x^{\frac{1}{n}}{)}^{m-1}\cdot \frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}\\ & =\frac{m}{n}{x}^{\frac{m-1}{n}+\frac{1-n}{n}}=\frac{m}{n}{x}^{\frac{m}{n}-1}\end{array}$

が導かれる。ゆえに冪関数の微分公式は冪乗の値が有理数の場合でも成り立つ事が分かった。

従って任意の有理数ｒに対し次の定理が成り立つ。；

• $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$

高等学校の数学

数学Ⅲで教える。

関連項目

• 微分方程式#入門編