正方行列

正方行列とは、行の数と列の数が同じ行列である。

概要

正方行列は、入力・出力も同じ次元のベクトルとなる線形写像を、数字の並びで表したものである。

正方行列で、以下の様な式を満たす複素数r、ベクトルVの組が存在することがある（ただしVは零ベクトル、即ち全ての元が0となるベクトルでは無い）。

$A\cdot V=r\cdot V$

この時、Vを固有ベクトル、rを固有値と呼ぶ。一般的に、N次元の行列は最大でN個の固有値を持ち、固有ベクトルを最大N方向分持つ。0を固有値として持たない行列を正則行列と呼ぶ。

例えば、行列

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 3\end{array}\right)$

は、$v_1=(1,1,0),v_2=(1,0,1),v_3=(0,0,1)$を固有ベクトルとして持ち、対応する固有値は順に$e_1=1,e_2=2,e_3=3$である。この時、次の様に、元の行列に固有ベクトルからなる行列、およびその逆行列を掛ける演算を行うと、対角線だけに数字が並ぶ行列に変化させることができる。

${\left(\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right)}^{-1}\cdot A\cdot \left(\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{e}_1& 0& 0\\ 0& e_2& 0\\ 0& 0& e_3\end{array}\right)$

具体的に数字を入れると以下の様になる。

${\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)}^{-1}\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

この操作のことを、対角化と呼ぶ。対角化は、全ての正方行列で可能ではなく、対角化できるケースとできないケースがある。