正方行列
正方行列とは、行の数と列の数が同じ行列である。
概要[編集]
正方行列は、入力・出力も同じ次元のベクトルとなる線形写像を、数字の並びで表したものである。
正方行列で、以下の様な式を満たす複素数r、ベクトルVの組が存在することがある（ただしVは零ベクトル、即ち全ての元が0となるベクトルでは無い）。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A \cdot V = r \cdot V}
この時、Vを固有ベクトル、rを固有値と呼ぶ。一般的に、N次元の行列は最大でN個の固有値を持ち、固有ベクトルを最大N方向分持つ。0を固有値として持たない行列を正則行列と呼ぶ。
例えば、行列
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} }
は、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v_1 = (1,1,0),\ v_2 = (1,0,1),\ v_3 = (0,0,1)} を固有ベクトルとして持ち、対応する固有値は順に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle e_1=1,\ e_2=2,\ e_3=3} である。この時、次の様に、元の行列に固有ベクトルからなる行列、およびその逆行列を掛ける演算を行うと、対角線だけに数字が並ぶ行列に変化させることができる。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_1 & 0 & 0 \\ 0 & e_2 & 0 \\ 0 & 0 & e_3 \end{pmatrix} }
具体的に数字を入れると以下の様になる。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
この操作のことを、対角化と呼ぶ。対角化は、全ての正方行列で可能ではなく、対角化できるケースとできないケースがある。