行列
行列（ぎょうれつ）とは、ベクトルからベクトルへの線形写像を、数字の並びで表したものである。
概要[編集]
以下の様な、掛け算・足し算・引き算だけで成り立つ連立方程式を考える。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{cases} Y_1 = a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + a_{13}X_3 \\ Y_2 = a_{21}X_1 + a_{22}X_2 + a_{23}X_3 \\ Y_3 = a_{31}X_1 + a_{32}X_2 + a_{33}X_3 \\ Y_4 = a_{41}X_1 + a_{42}X_2 + a_{43}X_3 \end{cases} }
この式は、多くの変数が複雑に絡み合っている。これを、次の様に書くと、係数と変数が分離できる他、書く手間も減らすことができる。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ Y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} }
この、一個一個の括弧で区切られたものを「行列」と呼び、特に一列あるいは一行の行列のことを「ベクトル」と呼ぶ。この式を改めて構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Y = A \cdot X} と書いた時、Aは4行3列の行列で、3次元ベクトルを入力、4次元ベクトルを出力とする関数ともみなせる。なお、ここでは4行3列の例で示したが、他の次元でも同様の考え方を用いることができる。
この行列、ベクトルを一つの数の様に扱い、深掘りしていく学問を線形代数学と呼ぶ。
行列の演算[編集]
足し算・引き算[編集]
行列A,Bの足し算・引き算は、以下の式が成り立つ様に定める。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A \pm B) \cdot X = A \cdot X \pm B \cdot X}
足し算・引き算は、2つの行列が同じサイズの時にだけ、次の様に定義できる。単純に、全ての項を足し算、引き算するだけである。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ a_{41} + b_{41} & a_{42} + b_{42} & a_{43} + b_{43} \end{pmatrix} }
掛け算[編集]
行列A,Bの掛け算は、以下の式が成り立つ様に定める。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A \cdot B) \cdot X = A \cdot (B \cdot X)}
掛け算は、足し算と違って複雑である。Aの列の数と、Bの行の数が同じ時に定義でき、計算の仕方も次に示す様な形となる。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \\ a_{31} \cdot b_{11} + a_{32} \cdot b_{21} + a_{33} \cdot b_{31} & a_{31} \cdot b_{12} + a_{32} \cdot b_{22} + a_{33} \cdot b_{32} \\ a_{41} \cdot b_{11} + a_{42} \cdot b_{21} + a_{43} \cdot b_{31} & a_{41} \cdot b_{12} + a_{42} \cdot b_{22} + a_{43} \cdot b_{32} \end{pmatrix} }
掛け算は、交換法則、即ち構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A \cdot B = B \cdot A} が成り立たないので注意。
同じ行列をn回掛けるときに、各成分がどうなるかを表現できればn乗を求められる。
n乗を求められるならば、テイラー展開した式に代入することで、引数が行列の指数関数や三角関数も定義できる。
割り算[編集]
行列A,Bの割り算は、以下の式が成り立つ様に定める。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A / B) \cdot B = A}
割り算は、割られる側（上の式だとB）が、正方行列（行の数と列の数が同じ）でかつ、後述の特殊な条件を満たす関数でなければ定義できない。この条件を満たす行列のことを、正則行列と呼ぶ。(正則行列と同値な条件は多く知られていて、行列式detや階数rankなどを利用するものがある)
行列A,Bが次の式を満たす時、Aの逆行列がB、Bの逆行列がAである、と言う。ここで一番右側の、対角線上に1が並び他が全て0になる行列のことを、単位行列と呼ぶ。
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }
様々な行列[編集]
行列に関連する概念[編集]
関連項目[編集]
脚注[編集]
- 注