行列

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行列（ぎょうれつ）とは、ベクトルからベクトルへの線形写像を、数字の並びで表したものである。

概要

以下の様な、掛け算・足し算・引き算だけで成り立つ連立方程式を考える。

$\{\begin{array}{l}{Y}_1=a_{11}{X}_1+a_{12}{X}_2+a_{13}{X}_3\\ Y_2=a_{21}{X}_1+a_{22}{X}_2+a_{23}{X}_3\\ Y_3=a_{31}{X}_1+a_{32}{X}_2+a_{33}{X}_3\\ Y_4=a_{41}{X}_1+a_{42}{X}_2+a_{43}{X}_3\end{array}$

この式は、多くの変数が複雑に絡み合っている。これを、次の様に書くと、係数と変数が分離できる他、書く手間も減らすことができる。

$\left(\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\\ Y_3\\ Y_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right)$

この、一個一個の括弧で区切られたものを「行列」と呼び、特に一列あるいは一行の行列のことを「ベクトル」と呼ぶ。この式を改めて$Y=A\cdot X$と書いた時、Aは4行3列の行列で、3次元ベクトルを入力、4次元ベクトルを出力とする関数ともみなせる。なお、ここでは4行3列の例で示したが、他の次元でも同様の考え方を用いることができる。

この行列、ベクトルを一つの数の様に扱い、深掘りしていく学問を線形代数学と呼ぶ。

行列の演算

足し算・引き算

行列A,Bの足し算・引き算は、以下の式が成り立つ様に定める。

$(A\pm B)\cdot X=A\cdot X\pm B\cdot X$

足し算・引き算は、2つの行列が同じサイズの時にだけ、次の様に定義できる。単純に、全ての項を足し算、引き算するだけである。

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\\ b_{41}& b_{42}& b_{43}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& a_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31}& a_{32}+b_{32}& a_{33}+b_{33}\\ a_{41}+b_{41}& a_{42}+b_{42}& a_{43}+b_{43}\end{array}\right)$

掛け算

行列A,Bの掛け算は、以下の式が成り立つ様に定める。

$(A\cdot B)\cdot X=A\cdot (B\cdot X)$

掛け算は、足し算と違って複雑である。Aの列の数と、Bの行の数が同じ時に定義でき、計算の仕方も次に示す様な形となる。

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}& a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}\\ a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}& a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}\\ a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}+a_{33}\cdot b_{31}& a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}+a_{33}\cdot b_{32}\\ a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}+a_{43}\cdot b_{31}& a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}+a_{43}\cdot b_{32}\end{array}\right)$

掛け算は、交換法則、即ち$A\cdot B=B\cdot A$が成り立たないので注意。

同じ行列をn回掛けるときに、各成分がどうなるかを表現できればn乗を求められる。

n乗を求められるならば、テイラー展開した式に代入することで、引数が行列の指数関数や三角関数も定義できる。

割り算

行列A,Bの割り算は、以下の式が成り立つ様に定める。

$(A/B)\cdot B=A$

割り算は、割られる側（上の式だとB）が、正方行列（行の数と列の数が同じ）でかつ、後述の特殊な条件を満たす関数でなければ定義できない。この条件を満たす行列のことを、正則行列と呼ぶ。(正則行列と同値な条件は多く知られていて、行列式detや階数rankなどを利用するものがある)

行列A,Bが次の式を満たす時、Aの逆行列がB、Bの逆行列がAである、と言う。ここで一番右側の、対角線上に1が並び他が全て0になる行列のことを、単位行列と呼ぶ。

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

様々な行列

• 正方行列

• 零行列
• 対角行列
• 三角行列
• ハンケル行列
• テプリッツ行列

• 転置行列
• 随伴行列

• 対称行列
• エルミート行列
• 正規行列

• 単位行列
• 逆行列
• 直交行列
• 回転行列
• ユニタリ行列

行列に関連する概念

• 行列式
• ランク
• トレース
• 内積
• 行列ノルム

• 対角化
• 三角化

• ベクトル
• テンソル

関連項目

• 線形代数

脚注

注