転置行列

転置行列とは、m行n列行列Aに対してAのi,j成分とj,i成分要素を入れ替えてできるn行m列の行列のことである。行列の転置行列を与える操作のことを転置と言う。

概要

$A^T$などと表記する。 正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。 ベクトル(m=1またはn=1の行列)に対しても使われ、表記上収まりを良くするときにも有用である。

性質

行列A,Bとスカラーk,lに対して、各演算が定義できる限り以下が成り立つ。

• $(A^T{)}^T=A$(対合性)
• $(A+B{)}^T)=A^T+B^T$(加法性)
• $(kA{)}^T=k{A}^T$(斉次性)
• $(kA+lB{)}^T)=k{A}^T+l{B}^T$(線形性=加法性+斉次性)
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$(積は順序を入れ替える)

正方行列

• $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$(逆行列と転置は交換可)
• $tr(A)=tr(A^T)$(トレースは等しい)
• $\det (A)=\det (A^T)$(行列式は等しい)

転置行列により定義される行列

• 対称行列:転置が元の行列と等しい。($A^T=A$)
• 交代行列:転置が元の行列に(-1)と等しい。($A^T=-A$)
• 直交行列:転置が元の行列の逆行列と等しい。($A^T=A^{-1}$)

これらの行列はそれぞれ随伴行列に対するエルミート行列・歪エルミート行列・ユニタリ行列に相当する。