転置行列
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転置行列とは、m行n列行列Aに対してAのi,j成分とj,i成分要素を入れ替えてできるn行m列の行列のことである。行列の転置行列を与える操作のことを転置と言う。
概要[編集]
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A^T} などと表記する。 正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。 ベクトル(m=1またはn=1の行列)に対しても使われ、表記上収まりを良くするときにも有用である。
性質[編集]
行列A,Bとスカラーk,lに対して、各演算が定義できる限り以下が成り立つ。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A^T)^T=A} (対合性)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A+B)^T)=A^T+B^T} (加法性)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (kA)^T=kA^T} (斉次性)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (kA+lB)^T)=kA^T+lB^T} (線形性=加法性+斉次性)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (AB)^T=B^TA^T} (積は順序を入れ替える)
正方行列[編集]
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}} (逆行列と転置は交換可)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle tr(A)=tr(A^T)} (トレースは等しい)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \det (A)=\det (A^T)} (行列式は等しい)
転置行列により定義される行列[編集]
- 対称行列:転置が元の行列と等しい。(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A^T=A} )
- 交代行列:転置が元の行列に(-1)と等しい。(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A^T=-A} )
- 直交行列:転置が元の行列の逆行列と等しい。(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle A^T=A^{-1}} )