フーリエ級数展開
フーリエ級数展開とは、正弦関数・余弦関数(と定数)の無限和として関数を得る展開のことである。 得られる無限和(級数)をフーリエ級数、各項の係数をフーリエ係数という。
概要[編集]
周期関数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)} の(複素)フーリエ級数展開は、フーリエ係数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n}} と周期構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T 、虚数単位構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle j} 、円周率構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \pi} を用いて以下の式になる。
- 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)=\sum_{n=- \infty}^{\infty}c_{n}e^{j\frac{2\pi nt}{T}}}
ただし、
- 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}} dt}
である。
実数値関数に限れば、フーリエ余弦係数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}} とフーリエ正弦係数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}} を用いて以下の式になる。
- 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) + b_{n} \sin \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) \right)}
ただし、
- 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) dt}
- 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) dt}
である。
偶関数のフーリエ級数展開はフーリエ余弦係数のみで構成され、奇関数のフーリエ級数展開はフーリエ正弦係数のみで構成される。構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}}
は構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (0)}
すなわち一定の成分であり、平均値(の2倍)に相当する。
フーリエ級数展開の例[編集]
三角関数や複素指数関数のフーリエ級数展開は自分自身である(のでするまでもない)。
関数名 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)} | 周期 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}} | 級数 |
---|---|---|---|---|---|---|
余弦関数 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (kt)} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{2\pi}{k}} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{1}=1,a_{n}=0(n \neq 1)} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (kt)} |
正弦関数 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (kt)} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{2\pi}{k}} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{1}=1,b_{n}=0(n \neq 1)} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (kt)} |
定数関数 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=2C} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} |
矩形波 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t+kT)={\begin{cases}1 &{\mbox{if }}0 \leq t \leq \frac{T}{2} \\ -1 &{\mbox{if }}-\frac{T}{2} \leq t \leq 0 \end{cases}} (k \in\mathbb{Z})} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}={\begin{cases}0 &{\mbox{if }} n \operatorname{even} \\ \frac{4}{\pi} \frac{1}{n} &{\mbox{if }} n \operatorname{odd} \end{cases}}} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\sin \left( {\frac{2\pi (2m-1)t}{T}} \right)}{2m-1}} |
三角波 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t+kT)={\begin{cases}-\frac{4t}{T}+1 &{\mbox{if }}0 \leq t \leq \frac{T}{2} \\ \frac{4t}{T}+1 &{\mbox{if }}-\frac{T}{2} \leq t \leq 0 \end{cases}} (k \in\mathbb{Z})} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=0} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}0 &{\mbox{if }} n \operatorname{even} \\ \frac{8}{\pi^2} \frac{1}{n^2} &{\mbox{if }} n \operatorname{odd} \end{cases}}} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{8}{\pi^2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos \left( {\frac{2\pi (2m-1)t}{T}} \right)}{(2m-1)^2}} |
ノコギリ波 | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t+kT)={\begin{cases}\frac{2t}{T} &{\mbox{if }}-\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2} \end{cases}} (k \in\mathbb{Z})} | 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T} |