フーリエ級数展開

フーリエ級数展開とは、正弦関数・余弦関数(と定数)の無限和として関数を得る展開のことである。 得られる無限和(級数)をフーリエ級数、各項の係数をフーリエ係数という。

概要

周期関数$f(t)$の(複素)フーリエ級数展開は、フーリエ係数$c_n$と周期$T$、虚数単位$j$、円周率$\pi$を用いて以下の式になる。

$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{j\frac{2\pi nt}{T}}$

ただし、

$c_n=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt$

である。

実数値関数に限れば、フーリエ余弦係数$a_n$とフーリエ正弦係数$b_n$を用いて以下の式になる。

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right))$

ただし、

$a_n=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

$b_n=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

である。
偶関数のフーリエ級数展開はフーリエ余弦係数のみで構成され、奇関数のフーリエ級数展開はフーリエ正弦係数のみで構成される。$a_0$は$\cos (0)$すなわち一定の成分であり、平均値(の2倍)に相当する。

フーリエ級数展開の例

三角関数や複素指数関数のフーリエ級数展開は自分自身である(のでするまでもない)。

関数名	$f(t)$	周期	$a_0$	$a_n$	$b_n$	級数
余弦関数	$\cos (kt)$	$\frac{2\pi }{k}$	$a_0=0$	$a_1=1,a_n=0(n\ne 1)$	$b_n=0$	$\cos (kt)$
正弦関数	$\sin (kt)$	$\frac{2\pi }{k}$	$a_0=0$	$a_n=0$	$b_1=1,b_n=0(n\ne 1)$	$\sin (kt)$
定数関数	$C$	$-$	$a_0=2C$	$a_n=0$	$b_n=0$	$C$
矩形波	$f(t+kT)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }0\le t\le \frac{T}{2}\\ -1& \text{if }-\frac{T}{2}\le t\le 0\end{array}(k\in \mathbb{\mathbb{Z}})$	$T$	$a_0=0$	$a_n=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }n\mathrm{even}\\ \frac{4}{\pi }\frac{1}{n}& \text{if }n\mathrm{odd}\end{array}$	$b_n=0$	$\frac{4}{\pi }\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(\frac{2\pi (2m-1)t}{T}\right)}{2m-1}$
三角波	$f(t+kT)=\{\begin{array}{ll}-\frac{4t}{T}+1& \text{if }0\le t\le \frac{T}{2}\\ \frac{4t}{T}+1& \text{if }-\frac{T}{2}\le t\le 0\end{array}(k\in \mathbb{\mathbb{Z}})$	$T$	$a_0=0$	$a_n=0$	$b_n=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }n\mathrm{even}\\ \frac{8}{{\pi }^2}\frac{1}{n^2}& \text{if }n\mathrm{odd}\end{array}$	$\frac{8}{{\pi }^2}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(\frac{2\pi (2m-1)t}{T}\right)}{(2m-1{)}^2}$
ノコギリ波	$f(t+kT)=\{\begin{array}{ll}\frac{2t}{T}& \text{if }-\frac{T}{2}\le t\le \frac{T}{2}\end{array}(k\in \mathbb{\mathbb{Z}})$	$T$	$a_0=0$	$a_n=-\frac{2}{\pi }\frac{(-1{)}^n}{n}$	$b_n=0$	$-\frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)}{n}$

関連項目

• フーリエ変換