フーリエ級数展開

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フーリエ級数展開とは、正弦関数余弦関数(と定数)の無限和として関数を得る展開のことである。 得られる無限和(級数)をフーリエ級数、各項の係数をフーリエ係数という。

概要[編集]

周期関数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)} の(複素)フーリエ級数展開は、フーリエ係数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n}}周期構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T虚数単位構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle j}円周率構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \pi} を用いて以下の式になる。

構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)=\sum_{n=- \infty}^{\infty}c_{n}e^{j\frac{2\pi nt}{T}}}

ただし、

構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}} dt}

である。

実数値関数に限れば、フーリエ余弦係数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}} とフーリエ正弦係数構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}} を用いて以下の式になる。

構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) + b_{n} \sin \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) \right)}

ただし、

構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) dt}
構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin \left( {\frac{2\pi nt}{T}} \right) dt}

である。
偶関数のフーリエ級数展開はフーリエ余弦係数のみで構成され、奇関数のフーリエ級数展開はフーリエ正弦係数のみで構成される。構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}}構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (0)} すなわち一定の成分であり、平均値(の2倍)に相当する。

フーリエ級数展開の例[編集]

三角関数複素指数関数のフーリエ級数展開は自分自身である(のでするまでもない)。

関数名 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t)} 周期 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}} 級数
余弦関数 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (kt)} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{2\pi}{k}} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{1}=1,a_{n}=0(n \neq 1)} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos (kt)}
正弦関数 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (kt)} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{2\pi}{k}} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{1}=1,b_{n}=0(n \neq 1)} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin (kt)}
定数関数 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle -} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=2C} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C}
矩形波 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t+kT)={\begin{cases}1 &{\mbox{if }}0 \leq t \leq \frac{T}{2} \\ -1 &{\mbox{if }}-\frac{T}{2} \leq t \leq 0 \end{cases}} (k \in\mathbb{Z})} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}={\begin{cases}0 &{\mbox{if }} n \operatorname{even} \\ \frac{4}{\pi} \frac{1}{n} &{\mbox{if }} n \operatorname{odd} \end{cases}}} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\sin \left( {\frac{2\pi (2m-1)t}{T}} \right)}{2m-1}}
三角波 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t+kT)={\begin{cases}-\frac{4t}{T}+1 &{\mbox{if }}0 \leq t \leq \frac{T}{2} \\ \frac{4t}{T}+1 &{\mbox{if }}-\frac{T}{2} \leq t \leq 0 \end{cases}} (k \in\mathbb{Z})} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{0}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a_{n}=0} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}0 &{\mbox{if }} n \operatorname{even} \\ \frac{8}{\pi^2} \frac{1}{n^2} &{\mbox{if }} n \operatorname{odd} \end{cases}}} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{8}{\pi^2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos \left( {\frac{2\pi (2m-1)t}{T}} \right)}{(2m-1)^2}}
ノコギリ波 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(t+kT)={\begin{cases}\frac{2t}{T} &{\mbox{if }}-\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2} \end{cases}} (k \in\mathbb{Z})} 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T}

関連項目[編集]