フーリエ変換

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フーリエ変換は、関数を別の関数に変える、積分変換の一種。フランス数学者物理学者ジョゼフ・フーリエに因んでこのような名前がついた。FTとも。

定義[編集]

時間関数 のラプラス変換は、虚数単位円周率を用いて、

と定義される。 ここでtは時間、fは周波数で、それぞれ時間領域・周波数領域の関数などと言う。
逆の計算も

と定義できて、これをフーリエ逆変換と言う。
フーリエ変換・フーリエ逆変換の式は以下のようにも表す。

(フーリエ変換)
(フーリエ逆変換)

ただし、倍や倍ずれた定義をすることもあり、それは分野による。

用途[編集]

数学的には積分計算に応用できる。 工学的には周波数ごとの性質を見ることができる。

変換表[編集]

変換表 原関数

t 領域 / 時間領域
像関数

f 領域 / 周波数領域
線形
時間軸の・周波数軸の畳み込み
時間軸の畳み込み・周波数軸の積
遅延・時間軸の推移
変調・周波数軸の推移
時間微分
周波数微分
a倍速
複素共役
対称性
定数関数
ディラックのデルタ関数
複素指数関数
余弦関数
正弦関数
矩形関数 (正規化sinc関数)
正規化sinc関数
三角形関数 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{sinc}^2(f) } (正規化sinc関数の2乗)
正規化sinc関数の2乗
絶対値付き減衰指数関数
双曲線正割関数

各種フーリエ変換の導出[編集]

ここでは上記フーリエ変換の公式や性質を導いて行く事にする。

時間軸の積・周波数軸の畳み込み[編集]

時間軸の積・周波数軸の畳み込みの性質は、畳み込みを定義に従って計算し、指数の肩を2つに分けて、積分順序を交換し、置換積分(変数変換)でフーリエ逆変換することで求まる。
とすると、で、のとき、 なので、

はじめと結果をフーリエ変換をすれば、

時間軸の畳み込み・周波数軸の積[編集]

時間軸の畳み込み・周波数軸の積の性質は、畳み込みを定義に従って計算し、指数の肩を2つに分けて、積分順序を交換し、置換積分(変数変換)でフーリエ変換することで求まる。
とすると、で、のとき、 なので、

遅延・時間軸の推移[編集]

遅延・時間軸の推移の性質は、指数の肩を整理して、フーリエ逆変換することで求まる。

左辺と右辺をフーリエ変換をすれば、

変調・周波数軸の推移[編集]

変調・周波数軸の推移の性質は、指数の肩を整理して、フーリエ変換をすることで求まる。

時間微分[編集]

時間微分の性質は、部分積分でフーリエ変換するで求まる。

周波数微分[編集]

周波数微分微分の性質は、部分積分でフーリエ逆変換するで求まる。

左辺と右辺をフーリエ変換をすれば、

a倍速[編集]

a倍速の性質は、置換積分(変数変換)でフーリエ変換するで求まる。
とすると、で、のとき、 ではで、ではなので、 積分区間が逆になると積分結果の符号が反転することに注意して

複素共役[編集]

複素共役の性質は、複素共役を積および積分と順序を入れ替えて、フーリエ変換をすることで求まる。

対称性[編集]

対称性の性質は、指数の肩のマイナスを入れ替えて、フーリエ逆変換をすることで求まる。

デルタ関数[編集]

デルタ関数のフーリエ変換は、デルタ関数の定義より求まる。
デルタ関数の定義より、

定数関数[編集]

定数関数のフーリエ変換は、デルタ関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、デルタ関数が偶関数であることを利用して求まる。

複素指数関数[編集]

複素指数関数のフーリエ変換は、定数関数のフーリエ変換に、変調・周波数軸の推移の性質を適用すると求まる。

三角関数[編集]

三角関数(余弦関数・正弦関数)のフーリエ変換は、三角関数を複素指数関数の線形和に変形して、線形和の性質を適用すると求まる。

矩形関数[編集]

矩形関数のフーリエ変換は、矩形関数が値をもつ範囲で積分することで求まる。

ただし、sinc関数は正規化sinc関数である。

三角形関数[編集]

三角形関数のフーリエ変換は、三角形関数が矩形関数同士の畳み込みであることに、時間軸の畳み込み・周波数軸の積の性質を適用することで求まる。

ただし、sinc関数は正規化sinc関数である。

正規化sinc関数[編集]

正規化sinc関数のフーリエ変換は、矩形関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、矩形関数が偶関数であることを利用して求まる。
正規化sinc関数の2乗のフーリエ変換は、三角形関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、三角形関数が偶関数であることを利用して求まる。

関連項目[編集]