フーリエ変換

フーリエ変換は、関数を別の関数に変える、積分変換の一種。フランスの数学者・物理学者ジョゼフ・フーリエに因んでこのような名前がついた。FTとも。

定義

時間関数 $x(t)$のラプラス変換は、虚数単位$j$と円周率$\pi$を用いて、

$X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}\mathrm {d} t$

と定義される。 ここでtは時間、fは周波数で、それぞれ時間領域・周波数領域の関数などと言う。
逆の計算も

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\mathrm {d} f$

と定義できて、これをフーリエ逆変換と言う。
フーリエ変換・フーリエ逆変換の式は以下のようにも表す。

$X(f)=F[x(t)]$(フーリエ変換)

$x(t)=F^{-1}[X(f)]$(フーリエ逆変換)

ただし、$2\pi$倍や${\sqrt {2\pi }}$倍ずれた定義をすることもあり、それは分野による。

用途

数学的には積分計算に応用できる。 工学的には周波数ごとの性質を見ることができる。

変換表

変換表	原関数 $x(t)=F^{-1}[X(f)]$ t 領域 / 時間領域	像関数 $X(f)=F[x(t)]$ f 領域 / 周波数領域
線形和	$\lambda x(t)+\mu y(t)~$	$\lambda X(f)+\mu Y(f)~$
時間軸の積・周波数軸の畳み込み	$x(t)y(t)~$	$X(f)*Y(f)~$
時間軸の畳み込み・周波数軸の積	$x(t)*y(t)~$	$X(f)Y(f)~$
遅延・時間軸の推移	$x(t-t_{0})~$	$X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}~$
変調・周波数軸の推移	$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}~$	$X(f-f_{0})~$
時間微分	$x^{'}(t)~$	$j2\pi fX(f)~$
周波数微分	$-j2\pi tx(t)~$	$X^{'}(f)~$
a倍速	$x(at)~$	${\frac {1}{|a|}}X\left({\frac {f}{a}}\right)~$
複素共役	${x(t)}^{*}~$	${X(-f)}^{*}~$
対称性	$X(t)~$	$x(-f)~$
定数関数	$1~$	$\delta (f)~$
ディラックのデルタ関数	$\delta (t)~$	$1$
複素指数関数	$e^{j2\pi f_{0}t}~$	$\delta (f-f_{0})$
余弦関数	$\cos(2\pi f_{0}t)~$	${\frac {\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})}{2}}$
正弦関数	$\sin(2\pi f_{0}t)~$	${\frac {\delta (f-f_{0})-\delta (f+f_{0})}{2j}}$
矩形関数	$\operatorname {rect} (t)~$	$\operatorname {sinc} (f)$(正規化sinc関数)
正規化sinc関数	$\operatorname {sinc} (t)~$	$\operatorname {rect} (f)$
三角形関数	$\operatorname {tri} (t)~$	$\operatorname {sinc} ^{2}(f)$(正規化sinc関数の2乗)
正規化sinc関数の2乗	$\operatorname {sinc} ^{2}(t)~$	$\operatorname {tri} (f)$
絶対値付き減衰指数関数	$e^{-|t|}~$	${\frac {2}{1+(2\pi f)^{2}}}$
双曲線正割関数	$\operatorname {sech} (t)~$	$\pi \operatorname {sech} (\pi ^{2}f)$

各種フーリエ変換の導出

ここでは上記フーリエ変換の公式や性質を導いて行く事にする。

時間軸の積・周波数軸の畳み込み

時間軸の積・周波数軸の畳み込みの性質は、畳み込みを定義に従って計算し、指数の肩を2つに分けて、積分順序を交換し、置換積分(変数変換)でフーリエ逆変換することで求まる。
$g=f-\phi$とすると、$dg=df$で、$f$が$-\infty \rightarrow \infty$のとき、 $g$は$-\infty \rightarrow \infty$なので、

${\begin{aligned}F^{-1}[X(f)*Y(f)]&=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)*Y(f)e^{j2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }X(\phi )Y(f-\phi )d\phi \right)e^{j2\pi ft}df\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }X(\phi )Y(f-\phi )d\phi \right)e^{j2\pi \phi t}e^{j2\pi (f-\phi )t}df\\&=\int _{-\infty }^{\infty }X(\phi )\left(\int _{-\infty }^{\infty }Y(f-\phi )e^{j2\pi (f-\phi )t}df\right)e^{j2\pi \phi t}d\phi \\&=\int _{-\infty }^{\infty }X(\phi )\left(\int _{-\infty }^{\infty }Y(g)e^{j2\pi gt}dg\right)e^{j2\pi t\phi }d\phi \\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }X(\phi )e^{j2\pi \phi t}d\phi \right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }Y(g)e^{j2\pi gt}dg\right)\\&=x(t)y(t)\end{aligned}}$

はじめと結果をフーリエ変換をすれば、

$F[x(t)y(t)]=F[F^{-1}[X(f)*Y(f)]]=X(f)*Y(f)$

時間軸の畳み込み・周波数軸の積

時間軸の畳み込み・周波数軸の積の性質は、畳み込みを定義に従って計算し、指数の肩を2つに分けて、積分順序を交換し、置換積分(変数変換)でフーリエ変換することで求まる。
$u=t-\tau$とすると、$dt=du$で、$t$が$-\infty \rightarrow \infty$のとき、 $u$は$-\infty \rightarrow \infty$なので、

${\begin{aligned}F[x(t)*y(t)]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)*y(t)e^{-j2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )y(t-\tau )d\tau \right)e^{-j2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )y(t-\tau )d\tau \right)e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi f(t-\tau )}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\tau )e^{-j2\pi f(t-\tau )}dt\right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(u)e^{-j2\pi fu}du\right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau \\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau \right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(u)e^{-j2\pi fu}du\right)\\&=X(f)Y(f)\end{aligned}}$

遅延・時間軸の推移

遅延・時間軸の推移の性質は、指数の肩を整理して、フーリエ逆変換することで求まる。

$F^{-1}[X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}]=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}e^{j2\pi ft}dt=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi f(t-t_{0})}dt=x(t-t_{0})$

左辺と右辺をフーリエ変換をすれば、

$F[x(t-t_{0})]=F[F^{-1}[X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}]]=X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}$

変調・周波数軸の推移

変調・周波数軸の推移の性質は、指数の肩を整理して、フーリエ変換をすることで求まる。

$F[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{j2\pi f_{0}t}e^{-j2\pi ft}dt=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}dt=X(f-f_{0})$

時間微分

時間微分の性質は、部分積分でフーリエ変換するで求まる。

$F[x^{'}(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{'}(t)e^{-j2\pi ft}dt=\left[x(t)e^{-j2\pi ft}\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }x^{'}(t)(-j2\pi f)e^{-j2\pi ft}dt=0+j2\pi f\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt=j2\pi tX(f)$

周波数微分

周波数微分微分の性質は、部分積分でフーリエ逆変換するで求まる。

$F^{-1}[X^{'}(f)]=\int _{-\infty }^{\infty }X^{'}(f)e^{j2\pi ft}dt=\left[X(f)e^{j2\pi ft}\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }X^{'}(f)(j2\pi f)e^{j2\pi ft}dt=0-j2\pi f\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}dt=-j2\pi fx(t)$

左辺と右辺をフーリエ変換をすれば、

$F[-j2\pi fx(t)]=F[F^{-1}[X^{'}(f)]]=X^{'}(f)$

a倍速

a倍速の性質は、置換積分(変数変換)でフーリエ変換するで求まる。
$u=at$とすると、$dt={\frac {du}{a}}$で、$t$が$-\infty \rightarrow \infty$のとき、 $u$は$a>0$では$-\infty \rightarrow \infty$で、$a<0$では$\infty \rightarrow -\infty$なので、 積分区間が逆になると積分結果の符号が反転することに注意して

$F[x(at)]=\int _{-\infty }^{\infty }x(at)e^{-j2\pi {\frac {f}{a}}at}dt=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{|a|}}x(u)e^{-j2\pi {\frac {f}{a}}u}du={\frac {1}{|a|}}\int _{-\infty }^{\infty }x(u)e^{-j2\pi {\frac {f}{a}}u}du={\frac {1}{|a|}}X\left({\frac {f}{a}}\right)$

複素共役

複素共役の性質は、複素共役を積および積分と順序を入れ替えて、フーリエ変換をすることで求まる。

$F[x(t)^{*}]=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)^{*}e^{-j2\pi ft}dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left(x(t)e^{-j2\pi (-f)t}\right)^{*}dt=\left(\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi (-f)t}dt\right)^{*}=X(-f)^{*}$

対称性

対称性の性質は、指数の肩のマイナスを入れ替えて、フーリエ逆変換をすることで求まる。

$F[X(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }X(t)e^{-j2\pi ft}dt=\int _{-\infty }^{\infty }X(t)e^{j2\pi t(-f)}dt=x(-f)$

デルタ関数

デルタ関数のフーリエ変換は、デルタ関数の定義より求まる。
デルタ関数の定義$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)f(t)dt=f(0)$より、

$F[\delta (t)]=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-j2\pi f\cdot 0}=1$

定数関数

定数関数のフーリエ変換は、デルタ関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、デルタ関数が偶関数であることを利用して求まる。

$F[1]=\delta (-f)=\delta (f)$

複素指数関数

複素指数関数のフーリエ変換は、定数関数のフーリエ変換に、変調・周波数軸の推移の性質を適用すると求まる。

$F[e^{j2\pi f_{0}t}]=F[1\cdot e^{j2\pi f_{0}t}]=\delta (f-f_{0})$

三角関数

三角関数(余弦関数・正弦関数)のフーリエ変換は、三角関数を複素指数関数の線形和に変形して、線形和の性質を適用すると求まる。

$F[\cos(2\pi f_{0}t)]=F\left[{\frac {e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}{2}}\right]={\frac {\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})}{2}}$

$F[\sin(2\pi f_{0}t)]=F\left[{\frac {e^{j2\pi f_{0}t}-e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j}}\right]={\frac {\delta (f-f_{0})-\delta (f+f_{0})}{2j}}$

矩形関数

矩形関数のフーリエ変換は、矩形関数が値をもつ範囲で積分することで求まる。

$F[\operatorname {rect} (t)]=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)e^{-j2\pi ft}dt=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}1\cdot e^{-j2\pi ft}dt=\left[{\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}\right]_{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}={\frac {e^{-j\pi f}-e^{j\pi f}}{-j2\pi f}}={\frac {e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}}{j2\pi f}}=\operatorname {sinc} (f)$

ただし、sinc関数は正規化sinc関数である。

三角形関数

三角形関数のフーリエ変換は、三角形関数が矩形関数同士の畳み込みであることに、時間軸の畳み込み・周波数軸の積の性質を適用することで求まる。

$F[\operatorname {tri} (t)]=F[\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)]=F[\operatorname {rect} (t)]\cdot F[\operatorname {rect} (t)]=\operatorname {sinc} (f)\cdot \operatorname {sinc} (f)=\operatorname {sinc^{2}} (f)$

ただし、sinc関数は正規化sinc関数である。

正規化sinc関数

正規化sinc関数のフーリエ変換は、矩形関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、矩形関数が偶関数であることを利用して求まる。
正規化sinc関数の2乗のフーリエ変換は、三角形関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、三角形関数が偶関数であることを利用して求まる。

$F[\operatorname {sinc} (t)]=\operatorname {rect} (-f)=\operatorname {rect} (f)$

$F[\operatorname {sinc} ^{2}(t)]=\operatorname {tri} (-f)=\operatorname {tri} (f)$

関連項目

• 関数
• 積分/微分
• フーリエ級数/フーリエ級数展開
• ラプラス変換
• フーリエ逆変換
• 周波数
• FFT
• DFT