フーリエ変換

フーリエ変換は、関数を別の関数に変える、積分変換の一種。フランスの数学者・物理学者ジョゼフ・フーリエに因んでこのような名前がついた。FTとも。

定義

時間関数 $x(t)$のラプラス変換は、虚数単位$j$と円周率$\pi$を用いて、

$X(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t$

と定義される。 ここでtは時間、fは周波数で、それぞれ時間領域・周波数領域の関数などと言う。
逆の計算も

$x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)e^{j2\pi ft}\mathrm{d}f$

と定義できて、これをフーリエ逆変換と言う。
フーリエ変換・フーリエ逆変換の式は以下のようにも表す。

$X(f)=F[x(t)]$(フーリエ変換)

$x(t)=F^{-1}[X(f)]$(フーリエ逆変換)

ただし、$2\pi$倍や$\sqrt{2\pi }$倍ずれた定義をすることもあり、それは分野による。

用途

数学的には積分計算に応用できる。 工学的には周波数ごとの性質を見ることができる。

変換表

変換表	原関数 $x(t)=F^{-1}[X(f)]$ t 領域 / 時間領域	像関数 $X(f)=F[x(t)]$ f 領域 / 周波数領域
線形和	$\lambda x(t)+\mu y(t)$	$\lambda X(f)+\mu Y(f)$
時間軸の積・周波数軸の畳み込み	$x(t)y(t)$	$X(f)*Y(f)$
時間軸の畳み込み・周波数軸の積	$x(t)*y(t)$	$X(f)Y(f)$
遅延・時間軸の推移	$x(t-t_0)$	$X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}$
変調・周波数軸の推移	$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$	$X(f-f_0)$
時間微分	$x^{\text{'}}(t)$	$j2\pi fX(f)$
周波数微分	$-j2\pi tx(t)$	$X^{\text{'}}(f)$
a倍速	$x(at)$	$\frac{1}{|a|}X\left(\frac{f}{a}\right)$
複素共役	${x(t)}^{*}$	${X(-f)}^{*}$
対称性	$X(t)$	$x(-f)$
定数関数	$1$	$\delta (f)$
ディラックのデルタ関数	$\delta (t)$	$1$
複素指数関数	$e^{j2\pi f_{0}t}$	$\delta (f-f_0)$
余弦関数	$\cos (2\pi f_{0}t)$	$\frac{\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)}{2}$
正弦関数	$\sin (2\pi f_{0}t)$	$\frac{\delta (f-f_0)-\delta (f+f_0)}{2j}$
矩形関数	$\mathrm{rect}(t)$	$\mathrm{sinc}(f)$(正規化sinc関数)
正規化sinc関数	$\mathrm{sinc}(t)$	$\mathrm{rect}(f)$
三角形関数	$\mathrm{tri}(t)$	${\mathrm{sinc}}^2(f)$(正規化sinc関数の2乗)
正規化sinc関数の2乗	${\mathrm{sinc}}^2(t)$	$\mathrm{tri}(f)$
絶対値付き減衰指数関数	$e^{-|t|}$	$\frac{2}{1+(2\pi f{)}^2}$
双曲線正割関数	$\mathrm{sech}(t)$	$\pi \mathrm{sech}({\pi }^{2}f)$

各種フーリエ変換の導出

ここでは上記フーリエ変換の公式や性質を導いて行く事にする。

時間軸の積・周波数軸の畳み込み

時間軸の積・周波数軸の畳み込みの性質は、畳み込みを定義に従って計算し、指数の肩を2つに分けて、積分順序を交換し、置換積分(変数変換)でフーリエ逆変換することで求まる。
$g=f-\varphi$とすると、$dg=df$で、$f$が$-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$のとき、 $g$は$-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$なので、

$\begin{array}{rl}{F}^{-1}[X(f)*Y(f)]& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)*Y(f)e^{j2\pi ft}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\varphi )Y(f-\varphi )d\varphi )e^{j2\pi ft}df\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\varphi )Y(f-\varphi )d\varphi )e^{j2\pi \varphi t}{e}^{j2\pi (f-\varphi )t}df\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\varphi )(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}Y(f-\varphi )e^{j2\pi (f-\varphi )t}df)e^{j2\pi \varphi t}d\varphi \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\varphi )(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}Y(g)e^{j2\pi gt}dg)e^{j2\pi t\varphi }d\varphi \\ & =(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\varphi )e^{j2\pi \varphi t}d\varphi )(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}Y(g)e^{j2\pi gt}dg)\\ & =x(t)y(t)\end{array}$

はじめと結果をフーリエ変換をすれば、

$F[x(t)y(t)]=F[F^{-1}[X(f)*Y(f)]]=X(f)*Y(f)$

時間軸の畳み込み・周波数軸の積

時間軸の畳み込み・周波数軸の積の性質は、畳み込みを定義に従って計算し、指数の肩を2つに分けて、積分順序を交換し、置換積分(変数変換)でフーリエ変換することで求まる。
$u=t-\tau$とすると、$dt=du$で、$t$が$-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$のとき、 $u$は$-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$なので、

$\begin{array}{rl}F[x(t)*y(t)]& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)*y(t)e^{-j2\pi ft}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )y(t-\tau )d\tau )e^{-j2\pi ft}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )y(t-\tau )d\tau )e^{-j2\pi f\tau }{e}^{-j2\pi f(t-\tau )}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}y(t-\tau )e^{-j2\pi f(t-\tau )}dt)e^{-j2\pi f\tau }d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}y(u)e^{-j2\pi fu}du)e^{-j2\pi f\tau }d\tau \\ & =(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau )(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}y(u)e^{-j2\pi fu}du)\\ & =X(f)Y(f)\end{array}$

遅延・時間軸の推移

遅延・時間軸の推移の性質は、指数の肩を整理して、フーリエ逆変換することで求まる。

$F^{-1}[X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}{e}^{j2\pi ft}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)e^{j2\pi f(t-t_0)}dt=x(t-t_0)$

左辺と右辺をフーリエ変換をすれば、

$F[x(t-t_0)]=F[F^{-1}[X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}]]=X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}$

変調・周波数軸の推移

変調・周波数軸の推移の性質は、指数の肩を整理して、フーリエ変換をすることで求まる。

$F[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{j2\pi f_{0}t}{e}^{-j2\pi ft}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-j2\pi (f-f_0)t}dt=X(f-f_0)$

時間微分

時間微分の性質は、部分積分でフーリエ変換するで求まる。

$F[x^{\text{'}}(t)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\text{'}}(t)e^{-j2\pi ft}dt={[x(t)e^{-j2\pi ft}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\text{'}}(t)(-j2\pi f)e^{-j2\pi ft}dt=0+j2\pi f\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-j2\pi ft}dt=j2\pi tX(f)$

周波数微分

周波数微分微分の性質は、部分積分でフーリエ逆変換するで求まる。

$F^{-1}[X^{\text{'}}(f)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}^{\text{'}}(f)e^{j2\pi ft}dt={[X(f)e^{j2\pi ft}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}^{\text{'}}(f)(j2\pi f)e^{j2\pi ft}dt=0-j2\pi f\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f)e^{j2\pi ft}dt=-j2\pi fx(t)$

左辺と右辺をフーリエ変換をすれば、

$F[-j2\pi fx(t)]=F[F^{-1}[X^{\text{'}}(f)]]=X^{\text{'}}(f)$

a倍速

a倍速の性質は、置換積分(変数変換)でフーリエ変換するで求まる。
$u=at$とすると、$dt=\frac{du}{a}$で、$t$が$-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$のとき、 $u$は$a>0$では$-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$で、$a<0$では$\mathrm{\infty }\to -\mathrm{\infty }$なので、 積分区間が逆になると積分結果の符号が反転することに注意して

$F[x(at)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(at)e^{-j2\pi \frac{f}{a}at}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{|a|}x(u)e^{-j2\pi \frac{f}{a}u}du=\frac{1}{|a|}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(u)e^{-j2\pi \frac{f}{a}u}du=\frac{1}{|a|}X\left(\frac{f}{a}\right)$

複素共役

複素共役の性質は、複素共役を積および積分と順序を入れ替えて、フーリエ変換をすることで求まる。

$F[x(t{)}^{*}]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t{)}^{*}{e}^{-j2\pi ft}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(x(t)e^{-j2\pi (-f)t})}^{*}dt={(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-j2\pi (-f)t}dt)}^{*}=X(-f{)}^{*}$

対称性

対称性の性質は、指数の肩のマイナスを入れ替えて、フーリエ逆変換をすることで求まる。

$F[X(t)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(t)e^{-j2\pi ft}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(t)e^{j2\pi t(-f)}dt=x(-f)$

デルタ関数

デルタ関数のフーリエ変換は、デルタ関数の定義より求まる。
デルタ関数の定義$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t)f(t)dt=f(0)$より、

$F[\delta (t)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-j2\pi f\cdot 0}=1$

定数関数

定数関数のフーリエ変換は、デルタ関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、デルタ関数が偶関数であることを利用して求まる。

$F[1]=\delta (-f)=\delta (f)$

複素指数関数

複素指数関数のフーリエ変換は、定数関数のフーリエ変換に、変調・周波数軸の推移の性質を適用すると求まる。

$F[e^{j2\pi f_{0}t}]=F[1\cdot e^{j2\pi f_{0}t}]=\delta (f-f_0)$

三角関数

三角関数(余弦関数・正弦関数)のフーリエ変換は、三角関数を複素指数関数の線形和に変形して、線形和の性質を適用すると求まる。

$F[\cos (2\pi f_{0}t)]=F\left[\frac{e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}{2}\right]=\frac{\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)}{2}$

$F[\sin (2\pi f_{0}t)]=F\left[\frac{e^{j2\pi f_{0}t}-e^{-j2\pi f_{0}t}}{2j}\right]=\frac{\delta (f-f_0)-\delta (f+f_0)}{2j}$

矩形関数

矩形関数のフーリエ変換は、矩形関数が値をもつ範囲で積分することで求まる。

$F[\mathrm{rect}(t)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{rect}(t)e^{-j2\pi ft}dt=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}1\cdot e^{-j2\pi ft}dt={\left[\frac{1}{-j2\pi f}{e}^{-j2\pi ft}\right]}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{e^{-j\pi f}-e^{j\pi f}}{-j2\pi f}=\frac{e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}}{j2\pi f}=\mathrm{sinc}(f)$

ただし、sinc関数は正規化sinc関数である。

三角形関数

三角形関数のフーリエ変換は、三角形関数が矩形関数同士の畳み込みであることに、時間軸の畳み込み・周波数軸の積の性質を適用することで求まる。

$F[\mathrm{tri}(t)]=F[\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)]=F[\mathrm{rect}(t)]\cdot F[\mathrm{rect}(t)]=\mathrm{sinc}(f)\cdot \mathrm{sinc}(f)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}(f)$

ただし、sinc関数は正規化sinc関数である。

正規化sinc関数

正規化sinc関数のフーリエ変換は、矩形関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、矩形関数が偶関数であることを利用して求まる。
正規化sinc関数の2乗のフーリエ変換は、三角形関数のフーリエ変換に、対称性の性質を適用し、三角形関数が偶関数であることを利用して求まる。

$F[\mathrm{sinc}(t)]=\mathrm{rect}(-f)=\mathrm{rect}(f)$

$F[{\mathrm{sinc}}^2(t)]=\mathrm{tri}(-f)=\mathrm{tri}(f)$

関連項目

• 関数
• 積分/微分
• フーリエ級数/フーリエ級数展開
• ラプラス変換
• フーリエ逆変換
• 周波数
• FFT
• DFT