矩形関数

矩形関数とは、矩形状の関数。$\operatorname {rect} (x)$や$\sqcap (x)$と表記される。

定義

$\operatorname {rect} (x)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|x|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|x|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|x|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

グラフ

xy平面上に、矩形関数を$y=f(x)$をプロットすると原点付近でy軸上方向に膨らむ矩形が現れる。

性質

$f(x)=\operatorname {rect} (x)$についての性質は以下のようである。

• $x=\pm {\frac {1}{2}}$に不連続点を持つ。
• 微分は$x=\pm {\frac {1}{2}}$で定義されない。:$f'(x)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x<-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}<x<{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}<1\end{cases}}$
• (不定)積分:$\int f(x)dx={\begin{cases}-{\frac {1}{2}}+C_{0}&{\mbox{if }}x\leq -{\frac {1}{2}}\\x+C_{0}&{\mbox{if }}-{\frac {1}{2}}<x\leq {\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}+C_{0}&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}<x\end{cases}}$($C_{0}$は積分定数)
• 偶関数である:$f(x)=\operatorname {rect} (x)=f(-x)$