矩形関数

矩形関数とは、矩形状の関数。$\mathrm{rect}(x)$や$\sqcap (x)$と表記される。

定義

$\mathrm{rect}(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }|x|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{if }|x|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{if }|x|<\frac{1}{2}\end{array}$

グラフ

xy平面上に、矩形関数を$y=f(x)$をプロットすると原点付近でy軸上方向に膨らむ矩形が現れる。

性質

$f(x)=\mathrm{rect}(x)$についての性質は以下のようである。

• $x=\pm \frac{1}{2}$に不連続点を持つ。
• 微分は$x=\pm \frac{1}{2}$で定義されない。:$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }x<-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2},\frac{1}{2}<1\end{array}$
• (不定)積分:$\int f(x)dx=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}+C_0& \text{if }x\le -\frac{1}{2}\\ x+C_0& \text{if }-\frac{1}{2}<x\le \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}+C_0& \text{if }\frac{1}{2}<x\end{array}$($C_0$は積分定数)
• 偶関数である:$f(x)=\mathrm{rect}(x)=f(-x)$