三角形関数

---

三角形関数とは、三角形状の関数。テント関数とも。$\mathrm{tri}(x)$や$\wedge (x)$と表記される。

定義

$\mathrm{tri}(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& \text{if }|x|<1\\ 0& \text{if }|x|\ge 1\end{array}$

グラフ

xy平面上に、三角形関数を$y=f(x)$をプロットすると原点付近でy軸上方向に膨らむ三角形が現れる。

性質

$f(x)=\mathrm{tri}(x)$についての性質は以下のようである。

• 不連続点を持たない。
• 微分は$x=\pm 1,0$で定義されない。:$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }-1<x<0\\ -1& \text{if }0<x<1\\ 0& \text{if }x<-1,1<x\end{array}$
• (不定)積分:$\int f(x)dx=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}+C_0& \text{if }x\le -1\\ x-\frac{1}{2}x|x|+C_0& \text{if }-1<x\le 1\\ \frac{1}{2}+C_0& \text{if }1<x\end{array}$($C_0$は積分定数)
• 偶関数である:$f(x)=\mathrm{tri}(x)=f(-x)$
• 三角形関数は矩形関数同士の畳み込みである:$\mathrm{tri}(x)=\mathrm{rect}(x)*\mathrm{rect}(x)$