ラプラス変換

ラプラス変換（ラプラスへんかん）は、関数を別の関数に変える、積分変換の一種。フランスの数学者ピエール＝シモン・ラプラスに因んでこのような名前がついた。

数学的には応用できないと言われているが、工学的には広く応用が利く。

定義

時間関数 f (t)のラプラス変換は

$F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t$

と定義される。ここでのsは複素周波数と呼ばれ、 s = σ + iω（σとωは実数、iは虚数単位）と表されることもある。σが増幅速度に、ωが周波数に対応するので、複素周波数という言い方をし、関数の引数が複素周波数になるので、定義域を「周波数領域」と呼ぶ。

逆に、この逆の計算も以下のように定義でき、これを逆ラプラス変換(inverse Laplace transform)という。

$f(t)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{c-ip}{\overset{c+ip}{\int }}F(s){\mathrm{e}}^{st}\mathrm{d}s$

ラプラス変換・逆ラプラス変換の関数は以下のようにも著すことができる。

$F(s)={ℒ}[f(t)]$

$f(t)={{ℒ}}^{-1}[F(s)]$

あるsに対して$F(s)=\mathrm{\infty }$であれば、関数が周波数sの成分を含んでいることを意味する。しかし、$F(s)\ne \mathrm{\infty }$であれば特に意味は無い（ただし、伝達関数であれば他の関数にかけ算されるので、意味を持つことがある）。

用途

周波数領域では、微分や積分が掛け算の形で書けるので、時間領域に直さない限りは計算が簡単になる。また、後述の伝達関数については、周波数毎の入力と出力の比が簡単にわかるので、伝達関数の性質を調べるのに適している。

変換表

変換表	原関数 $f(t)={{ℒ}}^{-1}\{F(s)\}$ 't' 領域 / 時間領域	像関数 $F(s)={ℒ}\{f(t)\}$ 's' 領域 / 周波数領域	収束域
単位インパルス	$\delta (t)$	$1$	$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}s$
単位ステップ関数	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
ランプ関数	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
n 乗 （n は整数）	$\frac{t^n}{n!}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$ $(n>-1)$
q 乗 （q は複素数）	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$ $(\mathrm{Re}\{q\}>-1)$
n 乗根	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)=t^{1/n}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{1+1/n}}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
指数減衰	${\mathrm{e}}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$\mathrm{Re}\{s\}>-\alpha$
n 乗の指数減衰	$\frac{t^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\mathrm{Re}\{s\}>-\alpha$
理想遅延	$\delta (t-\tau )$	${\mathrm{e}}^{-\tau s}$
遅延付き単位ステップ関数	$u(t-\tau )$	$\frac{1}{s}\cdot {\mathrm{e}}^{-\tau s}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
遅延付き n 乗の指数減衰	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}\cdot {\mathrm{e}}^{-\tau s}$	$\mathrm{Re}\{s\}>-\alpha$
指数関数的接近	$(1-{\mathrm{e}}^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
正弦関数	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
余弦関数	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
双曲線正弦関数 （ハイパボリックサイン）	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>|\alpha |$
双曲線余弦関数 （ハイパボリックコサイン）	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>|\alpha |$
正弦波の指数減衰	${\mathrm{e}}^{-\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>-\alpha$
余弦波の指数減衰	${\mathrm{e}}^{-\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\mathrm{Re}\{s\}>-\alpha$
自然対数	$\ln \left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot u(t)$	$-\frac{1}{s}[\ln (t_{0}s)+\gamma ]$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
第 1 種ベッセル関数	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$ $(n>-1)$
第 1 種変形ベッセル関数	$I_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$\mathrm{Re}\{s\}>|\omega |$
第 2 種ベッセル関数 （次数が 0 の場合）	$Y_0(\alpha t)\cdot u(t)$	$-\frac{2{\sinh }^{-1}(s/\alpha )}{\pi \sqrt{s^2+{\alpha }^2}}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
第 2 種変形ベッセル関数 （次数が 0 の場合）	$K_0(\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{co{s}^{-1}(s/\alpha )}{\sqrt{{\alpha }^2-s^2}}$	$\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{s\right\}<|\alpha |$
誤差関数	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{{\mathrm{e}}^{s^2/4}(1-\mathrm{erf}(s/2))}{s}$	$\mathrm{Re}\{s\}>0$
凡例 $u(t)$：ヘビサイド関数。 $\delta (t)$：ディラックのデルタ関数。 $\mathrm{\Gamma }(z)$：ガンマ関数。n が自然数の場合、Γ(n + 1) = n!。 $\gamma$：オイラー・マスケローニ定数. t は時間に対応する実数。 s は複素数で複素角周波数と呼ばれる。Re{s} はその実部。 α, β, τ, ω は実数。 n は整数。

※特に工学者を目指す者は最低限単位ステップ関数、ランプ関数、単位インパルス関数、指数、遅延系、正弦、余弦は最低限覚えておく^[要出典]。

微分方程式・回路方程式への応用

1回、2回、n回の微分は以下のように表すことができる。

${ℒ}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\right]=sF(s)-f(0)$

${ℒ}\left[\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(t)}{\mathrm{d}{t}^2}\right]=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

${ℒ}\left[\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(t)}{\mathrm{d}{t}^n}\right]=s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}{s}^{n-k-1}{f}^{(k)}(0)$
$=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{(1)}(0)-s^{n-3}{f}^{(2)}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

また、積分は以下のように表すことができる。

${ℒ}[\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(u)\mathrm{d}u]=\frac{1}{s}F(s)$

これらを利用して、常微分方程式や偏微分方程式、回路方程式などの微分方程式を解く際に線形の計算だけで解を求めることができ、その際に出てくる部分分数分解についてもヘビサイドの展開定理を利用すれば一気に解くことが可能である。

各種ラプラス変換の導出

ここでは上記ラプラス変換の公式や性質を導いてゆく事にする。そのためには定義式の無限積分が収束してくれないと困るので関数$f=f(x)$には

$|f(x)|\leqq M{e}^{\alpha x}$

なる条件が備わってるっちゅー事にする(指数α位であるという)。(※ただし$M,\alpha >0$)こうすれば$s>\alpha$が成り立つ時

$\begin{array}{rl}{ℒ}\{f(x)\}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-sx}dx\\ & \leqq \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}M{e}^{\alpha x}\cdot e^{-sx}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}M{e}^{-(s-\alpha )x}dx\\ & =\frac{M}{s-\alpha }\end{array}$

となって上述の広義積分が収束してくれる事が分かる。以下、この指数α位関数のラプラス変換の公式その他を導出してゆく事にする(話が数学的に全然厳密じゃなくてごめんちゃい💦)。

(1) 指数関数(eを底とするやつ)

指数関数のラプラス変換は上述と同じよーな計算で$s>\alpha$のとき次のよーに導ける。；

${ℒ}\{e^{\alpha x}\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(s-\alpha )x}dx=\frac{1}{s-\alpha }$

(2) 三角関数(正弦と余弦)

まずは正弦のラプラス変換から。

${ℒ}\{\sin \phi x\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}\sin \phi xdx$。

これは地道に部分積分して計算しても良いんだが積分公式 $\int e^{\alpha x}\sin \beta xdx=\frac{e^{\alpha x}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}(\alpha \sin \beta x-\beta \cos \beta x)$ を使えば $\begin{array}{rl}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}\sin \phi xdx& ={[\frac{e^{-sx}}{s^2+{\phi }^2}((-s)\sin \phi x-\phi \cos \phi x)]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{\phi }{s^2+{\phi }^2}\end{array}$ とゆー風に求まる。同様に余弦に関しても公式 $\int e^{\alpha x}\cos \beta xdx=\frac{e^{\alpha x}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}(\alpha \cos \beta x+\beta \sin \beta x)$ を用いれば ${ℒ}\{\cos \phi x\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}\cos \phi xdx=\frac{s}{s^2+{\phi }^2}$ っちゅー感じでラプラス変換が導ける。

(3) 平行移動

ラプラス変換は変数sの関数であるから${ℒ}\{f\}(s)$と書く事にすると

$\begin{array}{rl}{ℒ}\{e^{\alpha x}f\}(s)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f{e}^{\alpha x}{e}^{-sx}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f{e}^{-(s-\alpha )x}dx\\ & ={ℒ}\{f\}(s-\alpha )\end{array}$

とゆー性質が成り立つ事が分かる。

これを上記(2)の正弦＆余弦のラプラス変換に適用すれば

${ℒ}\{e^{\alpha x}\sin \phi x\}=\frac{\phi }{(s-\alpha {)}^2+{\phi }^2}$

${ℒ}\{e^{\alpha x}\cos \phi x\}=\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\phi }^2}$

が得られる。

(4) 導関数のラプラス変換

お微分のおラプラス変換はこんな感じですわ♪； $\begin{array}{rl}{ℒ}\{f^{\prime }(x)\}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{\prime }(x)e^{-sx}dx\\ & ={[f(x)e^{-sx}]}_0^{\mathrm{\infty }}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\cdot (-s)e^{-sx}dx\\ & =s{ℒ}\{f(x)\}-f(0).\end{array}$ ちなみに右辺の[ ]内は

$\frac{f(x)}{e^{sx}}\leqq \frac{M{e}^{\alpha x}}{e^{sx}}=M{e}^{-(s-\alpha )x}\to 0$

$(x\to \mathrm{\infty })$、ただし$s>\alpha$

とゆー極限が成り立ってるんでちゃんと収束している事が分かりますわ♬

2階導関数の場合は上述の公式を繰り返し用いる事により $\begin{array}{rl}{ℒ}\{f^{″}(x)\}& ={ℒ}\{(f^{\prime }(x){)}^{\prime }\}=s{ℒ}\{f^{\prime }(x)\}-f^{\prime }(0)\\ & =s[s{ℒ}\{f(x)\}-f(0)]-f^{\prime }(0)\\ & =s^2{ℒ}\{f(x)\}-sf(0)-f^{\prime }(0)\end{array}$ っちゅー風に求まりますわ☆

更にこれを一般化したものがこちらですわ★

• ${ℒ}\{f^{(n)}(x)\}=s^n{ℒ}\{f(x)\}-\sum _{r=1}^n{s}^{n-r}{f}^{(r-1)}(0)$

(※証明は数学的帰納法をお使い下さいませ♡)

(5) 独立変数の冪のラプラス変換

変数xの冪を$f(x)=x^n$とおいて微分すると $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1},f^{″}(x)=n(n-1)x^{n-2},$

…

$f^{(r)}(x)=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)x^{n-r}$

…

$f^{(n)}(x)=n!,f^{(n+1)}(x)=0$ となるが、ここで$f^{(n+1)}(x)=0$の両辺をラプラス変換したら $\begin{array}{rl}{ℒ}\{f^{(n+1)}(x)\}& =s^{n+1}{ℒ}\{f(x)\}-\sum _{r=1}^{n+1}{s}^{n-(r-1)}{f}^{(r-1)}(0)\\ & =0\end{array}$ が得られる。ここで右辺第ニ項のΣ計算は末項以外の項がすべて零になるから

${ℒ}\{f^{(n+1)}(x)\}=s^{n+1}{ℒ}\{x^n\}-n!=0$

が言える。従って以下の如き公式が成り立つ事になる。；

• ${ℒ}\{x^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$

(6) 独立変数の冪が掛かった関数の(以下略)

ラプラス変換の定義式

${ℒ}\{f(x)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-sx}dx$

の両辺を変数sで微分したら $\begin{array}{rl}\frac{d}{ds}{ℒ}\{f(x)\}& =\frac{d}{ds}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-sx}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial }{\partial s}\{f(x)e^{-sx}\}dx\\ & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)e^{-sx}dx\\ & =-{ℒ}\{xf(x)\}\end{array}$

が成り立つ(何で右辺の微分と積分が交換できるんかちゃんと説明せぇ言われたら困るんやけど💧)

とにかく次式が得られる。；

${ℒ}\{xf(x)\}=-\frac{d}{ds}{ℒ}\{f(x)\}$

従って上記公式を繰り返し用いると ${ℒ}\{x(xf(x))\}=-\frac{d}{ds}{ℒ}\{xf(x)\}=\frac{d^2}{d{s}^2}{ℒ}\{f(x)\}$

…

• ${ℒ}\{x^{n}f(x)\}=(-1{)}^n\frac{d^n}{d{s}^n}{ℒ}\{f(x)\}$

とゆー公式が導かれる事になる。

(7) 積分のラプラス変換

先ず以下の如き原始函數を考える。；

$g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi$

函數$f=f(x)$が指數α位であるとすれば

$\begin{array}{rl}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi & \leqq \underset{0}{\overset{x}{\int }}M{e}^{\alpha \xi }d\xi ={\left[\frac{M}{\alpha }{e}^{\alpha \xi }\right]}_0^x\\ & =\frac{M}{\alpha }(e^{\alpha x}-1)\leqq \frac{M}{\alpha }{e}^{\alpha x}\end{array}$

であるから上記の$g=g(x)$も指數α位である事が分かる。

さてここで$g=g(x)$にラプラス変換の微分法則を適用すると

${ℒ}\{g^{\prime }(x)\}=s{ℒ}\{g(x)\}-g(0)$

となるが右辺第ニ項は零であるから

${ℒ}\{g(x)\}=\frac{1}{s}{ℒ}\{g^{\prime }(x)\}$

が成り立つ。ゆえに以下のような公式が得られた事になる。；

• ${ℒ}\{\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi \}=\frac{1}{s}{ℒ}\{f(x)\}$

伝達関数への応用

時間関数$f(t)$を入力とし、別の時間関数に変換する関数を伝達関数と呼ぶ。伝達関数$g(x)$のラプラス変換$G(s)$は、以下を満たす様に定める。これにより、伝達関数を複数種類直列に施す場合でも、掛け算の形で書くことができる。

${ℒ}[g(f(t))]=G(s)\cdot F(s)$

アナログ信号の伝達関数の計算はすべてラプラス変換した形で表される。このため、制御器設計を行うにあたってはラプラス変換をしっかり理解している必要がある。

ラプラス変換することにより、伝達関数は出力＝$G(s)$×入力の形で書ける。これは、入力に周波数$s$の成分があれば、出力がその$G(s)$倍に増幅されることを意味するため、$G(s)$が出力と入力の比そのものとなる。また、$G(s)=\mathrm{\infty }$であれば、これは入力に周波数$s$の成分が無くても出力には現れることを意味する。ここで、$\mathrm{R}\mathrm{e}(s)>0$であれば、出力が時系列で発散することを意味する。

関連項目

• 関数
• 積分
• 微分
• 逆ラプラス変換
• フーリエ変換
• Z変換
• 周波数