広義積分

数学の解析学分野に於ける広義積分とは定積分のうち上端・下端が不連続点(被積分関数が無限大になったりする)であったり積分区間が無限に拡がってたりする物の総称である。「広義」とは呼ばれているもののこれらは関数の極限の一種であって積分の概念を拡張した物という訳ではない。

尚、広義積分の区間無限ヴァージョンは積分区間が無限大である事を強調して無限積分と呼ばれている。

概要

例を挙げるとしたらこんな感じの極限である(cは不連続点)。

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to c-0}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

基本的には定積分を計算した後上端or下端に極限をとる感じなんだが計算するたびにいちいち極限記号を書いてたら面倒臭いのでやや強引であるが不連続点や$\mathrm{\infty }$を端点に「代入」するという荒技を用いて答えを求める事が多い。

利用例

以下、広義積分の例を幾つか列挙する。

ガウス積分

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

ガンマ関数

• $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt,(x>0)$

ラプラス変換

• ${ℒ}\{f(x)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-sx}dx$

フーリエ変換

• ${ℱ}\{f(x)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\xi }dx$