ガウス積分

数学の微積分学分野に於けるガウス積分とは或る一変数関数に対する広義積分の一例である。

「単なる定積分の例題に過ぎぬ」と言ってしまえばそれまでなんだがこの積分は確率論や量子力学といった色々な応用数学に活用されてるのが特徴である。

概要

ガウス積分は次のような無限積分で表わされる。；

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

以下上記の「公式」を形式的に導出してゆく事にしよう(厳密な証明ではないので御容赦あれ)。まず

$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

とおいて両辺を2乗すれば

$\begin{array}{rl}{I}^2& ={\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right)}^2\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy\\ & =\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{y=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy\end{array}$

が得られる。ここで $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$と極座標変換してヤコビアンを求めると

$\begin{array}{rl}\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}& =\left|\begin{array}{cc}{x}_r& x_{\theta }\\ y_r& y_{\theta }\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|\\ & =r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta \\ & =r\end{array}$

となる。そして重積分の変数変換公式を使えば

$\begin{array}{rl}{I}^2& =\underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-r^2}rdrd\theta \\ & =2\pi {[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}]}_0^{\mathrm{\infty }}=\pi \end{array}$

が得られる。これの平方根を取ればガウス積分の式が導かれる。//
ちなみに、$I^2$は$e^{-x^2}$とx軸で囲まれる面積$I$をx=0まわりに回転させた回転体の体積に相当する。 そのため、体積$I^2$が先に求まってから面積$I$が求まるし、面積の2乗が回転体の体積になる(次元とかは考慮しない)興味深い形である。