自然対数

自然対数（しぜんたいすう）とは自然対数の底eを底とする対数のことである。即ち任意の正の数aの自然対数は${\log }_{e}a$と表すことができる。しかし、数学や物理学では底の表記を省略し、aの常用対数を単に$\log a$と表記することがほとんどである。しかし、底の表記を省略した$\log a$という表記は工学や化学など分野によっては常用対数を表す場合があるので注意が必要である。混同を防ぐためにaの常用対数を$\ln a$（「l」は小文字の「エル」）と表記する場合もある。
自然対数を導入することによって様々な関数の微分・積分を容易に行うことができる。また、1以外の正の代数的数の自然対数は常に超越数となることが知られている。

概要

ネイピアの数を底とする指数関数$y=e^x$を変数xに関して解いた$x=\log y$から逆関数である自然対数関数$y=\log x$が得られる。

この関数の導関数はネイピアの数の定義式

$e=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

と導関数の定義式より導く事ができて次式で表される。；

• $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

証明

自然対数関数の微分の定義式は

$\begin{array}{rl}\frac{\log (x+\mathrm{\Delta }x)-\log x}{\mathrm{\Delta }x}& =\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\log \left(\frac{x+\mathrm{\Delta }x}{x}\right)\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\log (1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}\frac{x}{\mathrm{\Delta }x}\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\log (1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})\\ & =\frac{1}{x}\log {(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}^{\frac{x}{\mathrm{\Delta }x}}\end{array}$

で与えられる。ここで$t=\mathrm{\Delta }x/x$とおけばΔx→0のときt→0だからネイピア数の定義式より上式は

$\frac{1}{x}\log (1+t{)}^{\frac{1}{t}}\to \frac{1}{x}\log e,(\mathrm{\Delta }x\to 0)$

となって定理の式が成り立つ。(証明終)

例 実数冪の冪関数

$y=x^{\alpha },(\alpha \in \mathbb{ℝ})$

の微分を自然対数の微分公式より導いてみよう。まず両辺に自然対数をとると

$\log y=\alpha \log x$

となる。ここで上述の自然対数の微分公式を用いて両辺を微分すると合成関数の微分法により以下の計算が成り立つ。；

$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=\alpha \cdot \frac{1}{x}=\alpha x^{-1}$

$y^{\prime }=\alpha x^{-1}\cdot x^{\alpha }$

従って次の公式が導出できた事になる。//

• $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$