誤差関数

誤差関数とは、定積分によって定義されるシグモイド状の特殊関数の一種。ガウスの誤差関数とも。 $\operatorname {erf}$ と表記される。

定義[編集]

誤差関数 $\operatorname {erf}$ は以下で定義される。

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt

誤差関数との和が常に1である相補誤差関数 $\operatorname {erfc}$ は以下で定義される。

\operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)=1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt

$\operatorname {erf} ,\operatorname {erfc}$ ともに奇関数である。

ガウス積分より以下がしたがう。

\lim _{x\to \pm \infty }\operatorname {erf} (x)=\pm 1

\lim _{x\to \pm \infty }\operatorname {erfc} (x)=1\mp 1

(複号同順)

$\operatorname {erf}$ の微分は、定積分の微分なので

{\frac {d}{dx}}\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}

よって、 $\operatorname {erfc}$ の微分は

{\frac {d}{dx}}\operatorname {erfc} (x)={\frac {d}{dx}}\{1-\operatorname {erf} (x)\}=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}

$\operatorname {erf}$ の不定積分は、以下である。

\int \operatorname {erf} (x)dx=x\operatorname {erf} (x)+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}+C

(

C

\operatorname {erf} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {(-1)^{n}}{n!(2n+1)}}x^{2n+1}