偶関数と奇関数

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偶関数あるいは奇関数は、特定の対称性を満足する関数である。

定義[編集]

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)=f(-x)}

のとき、f(x)は偶関数である。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)=-f(-x)}

のとき、f(x)は奇関数である。

例[編集]

偶関数[編集]

  • 偶数次べき関数（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2} ）
  • 定数関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} ）
  • 余弦関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(x)} ）
  • 双曲線余弦関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cosh(x)} ）
  • sinc関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{sinc}(x)} ）
  • 絶対値関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle |x|} ）
  • 矩形関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{rect}(x)} ）
  • 三角形関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{tri}(x)} ）

奇関数[編集]

  • 奇数次べき関数（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^3} ）
  • 正弦関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin(x)} ）
  • 正接関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan(x)} ）
  • 双曲線正弦関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sinh(x)} ）
  • 逆正弦関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin^{-1}(x)} ）
  • 逆正接関数（構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tan^{-1}(x)} ）
  • 逆双曲線正弦関数 （構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sinh^{-1}(x)} ）
  • 誤差関数(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}(x)} )
  • 相補誤差関数(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erfc}(x)} )

性質[編集]

グラフ[編集]

  • 偶関数 f(x)は、xy-平面上にy=f(x)のグラフを描いたときy軸に関して対称（線対称）になる。
  • 奇関数 f(x)は、xy-平面上にy=f(x)のグラフを描いたとき原点Oに関して対称（点対称）になる。特に、f(0)が定義されているならばf(0)=0である。

合成など[編集]

線形結合[編集]

  • 奇関数と偶関数の和は一般には奇関数でも偶関数でない。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x+x^2} ）
  • 複数の偶関数の線型結合は偶関数である。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2+x^4} ）
  • 複数の奇関数の線型結合は奇数関数である。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x+x^3} ）

積[編集]

  • 2つの偶関数の積は偶関数（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^2 \cdot x^4=x^6} ）
  • 2つの奇関数の積は偶関数（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x \cdot x^3=x^4} ）
  • 奇関数と偶関数の積は奇関数（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x^1 \cdot x^2=x^3} ）

微分[編集]

  • 偶関数が微分可能なとき、その1回微分は奇関数である。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx}x^2=2x} ）
  • 奇関数が微分可能なとき、その1回微分は偶関数である。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx}x^3=3x^2} ）

任意の関数について[編集]

  • 任意の関数f(x)に対してf(x)+f(−x)は偶関数である。
  • 任意の関数f(x)に対してf(x)−f(−x)は奇関数である。
  • 単射な奇関数f(x)の逆関数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f^{-1}(x)} は奇関数である。

展開・級数[編集]

  • 偶関数の0まわりのテイラー級数は偶数次の項だけを持つべき級数である。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}} ）
  • 奇関数の0まわりのテイラー級数は奇数次の項だけを持つべき級数である。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin(x)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}} ）
  • 周期的な偶関数のフーリエ級数はcosの項だけで構成される。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \cos(x)} ）
  • 周期的な奇関数のフーリエ級数はsinの項だけで構成される。（例：構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \sin(x)} ）
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