誤差関数
誤差関数とは、定積分によって定義されるシグモイド状の特殊関数の一種。ガウスの誤差関数とも。構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}} と表記される。
定義[編集]
誤差関数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}} は以下で定義される。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x e^{-t^2} dt}
誤差関数との和が常に1である相補誤差関数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erfc}} は以下で定義される。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x)=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2} dt}
性質[編集]
偶奇性[編集]
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf},\operatorname{erfc}} ともに奇関数である。
極限[編集]
ガウス積分より以下がしたがう。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty}\operatorname{erf}(x)=\pm 1} (複号同順)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty}\operatorname{erfc}(x)=1 \mp 1} (複号同順)
微分[編集]
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}} の微分は、定積分の微分なので
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}}
よって、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erfc}} の微分は
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{erfc}(x)=\frac{d}{dx}\{1-\operatorname{erf}(x)\}=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}}
積分[編集]
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}} の不定積分は、以下である。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int \operatorname{erf}(x) dx=x\operatorname{erf}(x)+\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}+C} (構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} は積分定数)
テイラー展開[編集]
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \operatorname{erf}(x)=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{2}{\sqrt \pi }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}x^{2n+1}}