誤差関数

誤差関数とは、定積分によって定義されるシグモイド状の特殊関数の一種。ガウスの誤差関数とも。$\mathrm{erf}$と表記される。

定義

誤差関数$\mathrm{erf}$は以下で定義される。

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$

誤差関数との和が常に1である相補誤差関数$\mathrm{erfc}$は以下で定義される。

$\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)=1-\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt$

性質

偶奇性

$\mathrm{erf},\mathrm{erfc}$ともに奇関数である。

極限

ガウス積分より以下がしたがう。

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{erf}(x)=\pm 1$(複号同順)

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{erfc}(x)=1\mp 1$(複号同順)

微分

$\mathrm{erf}$の微分は、定積分の微分なので

$\frac{d}{dx}\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}$

よって、$\mathrm{erfc}$の微分は

$\frac{d}{dx}\mathrm{erfc}(x)=\frac{d}{dx}\{1-\mathrm{erf}(x)\}=-\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}$

積分

$\mathrm{erf}$の不定積分は、以下である。

$\int \mathrm{erf}(x)dx=x\mathrm{erf}(x)+\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}+C$($C$は積分定数)

テイラー展開

$\mathrm{erf}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{(-1{)}^n}{n!(2n+1)}{x}^{2n+1}$

関連項目

• ガウス積分
• 指数関数
• シグモイド