偶関数と奇関数

偶関数あるいは奇関数は、特定の対称性を満足する関数である。

定義

$f(x)=f(-x)$

のとき、f(x)は偶関数である。

$f(x)=-f(-x)$

のとき、f(x)は奇関数である。

例

偶関数

• 偶数次べき関数（例：$x^2$）
• 定数関数（$C$）
• 余弦関数（$\cos (x)$）
• 双曲線余弦関数（$\cosh (x)$）
• sinc関数（$\mathrm{sinc}(x)$）
• 絶対値関数（$|x|$）
• 矩形関数（$\mathrm{rect}(x)$）
• 三角形関数（$\mathrm{tri}(x)$）

奇関数

• 奇数次べき関数（例：$x^3$）
• 正弦関数（$\sin (x)$）
• 正接関数（$\tan (x)$）
• 双曲線正弦関数（$\sinh (x)$）
• 逆正弦関数（${\sin }^{-1}(x)$）
• 逆正接関数（${\tan }^{-1}(x)$）
• 逆双曲線正弦関数 （${\sinh }^{-1}(x)$）
• 誤差関数($\mathrm{erf}(x)$)
• 相補誤差関数($\mathrm{erfc}(x)$)

性質

グラフ

• 偶関数 f(x)は、xy-平面上にy=f(x)のグラフを描いたときy軸に関して対称（線対称）になる。
• 奇関数 f(x)は、xy-平面上にy=f(x)のグラフを描いたとき原点Oに関して対称（点対称）になる。特に、f(0)が定義されているならばf(0)=0である。

合成など

線形結合

• 奇関数と偶関数の和は一般には奇関数でも偶関数でない。（例：$x+x^2$）
• 複数の偶関数の線型結合は偶関数である。（例：$x^2+x^4$）
• 複数の奇関数の線型結合は奇数関数である。（例：$x+x^3$）

積

• 2つの偶関数の積は偶関数（例：$x^2\cdot x^4=x^6$）
• 2つの奇関数の積は偶関数（例：$x\cdot x^3=x^4$）
• 奇関数と偶関数の積は奇関数（例：$x^1\cdot x^2=x^3$）

微分

• 偶関数が微分可能なとき、その1回微分は奇関数である。（例：$\frac{d}{dx}{x}^2=2x$）
• 奇関数が微分可能なとき、その1回微分は偶関数である。（例：$\frac{d}{dx}{x}^3=3x^2$）

任意の関数について

• 任意の関数f(x)に対してf(x)+f(−x)は偶関数である。
• 任意の関数f(x)に対してf(x)−f(−x)は奇関数である。
• 単射な奇関数f(x)の逆関数$f^{-1}(x)$は奇関数である。

展開・級数

• 偶関数の0まわりのテイラー級数は偶数次の項だけを持つべき級数である。（例：$\cos (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$）
• 奇関数の0まわりのテイラー級数は奇数次の項だけを持つべき級数である。（例：$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$）
• 周期的な偶関数のフーリエ級数はcosの項だけで構成される。（例：$\cos (x)$）
• 周期的な奇関数のフーリエ級数はsinの項だけで構成される。（例：$\sin (x)$）