絶対値

絶対値（ぜったいち）とは、複素数平面上である数と0との距離を表した数。nの絶対値は|n|と表す。

実数

実数の場合、正の数であれば、その数自体がそのまま絶対値になる。例えば、|6|=6である。また、|0|=0である。負の数では、その数の-1倍が絶対値になる。例えば、|-5|=-5×(-1)=5である。また、|1-√2|のような場合は、各項に-1を掛けて、-1+√2が絶対値となる。

複素数

|a+bi|（iは虚数単位）=√(a²+b²)である。複素平面上の原点からの長さを求めるのと同じ考え方で、三平方の定理を用いる。例えば、|3+5i|=√(3²+5²)=√34である。純虚数では、|bi|=bとなる。なお、絶対値が一定の数となる複素数を複素数平面上に表すと、同一の円の形に並ぶ。

関数としての絶対値

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}x &{\mbox{if }}x \geq 0 \\-x &{\mbox{if }}x < 0\end{cases}}} についての性質は以下のようである。

• 不連続点を持たない。
• 微分は構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=0} で定義されず、それ以外では大きさが1で符号は構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} の符号と同じ。:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f'(x)={\begin{cases}1 &{\mbox{if }}x > 0 \\-1 &{\mbox{if }}x < 0\end{cases}}}
• (不定)積分:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int f(x) dx = \frac{1}{2}x|x|+C_{0}} (構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C_{0}} は積分定数)
• 偶関数である:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle f(x)=|x|=f(-x)}

関連項目

• インピーダンス
• 交流回路
• 複素数平面