正弦波

物理学の波動関連分野に於ける正弦波とは正弦関数や余弦関数で表わされる波である。

概要[編集]

正弦波は基本的には1次元の波動方程式の解の一つとして

というニ変数関数で表わされる。^[1]

上記関数を座標変数xと時間変数tに関して偏微分すればこの関数が偏微分方程式

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}

を満たす事が容易に分かる(ただしω=ckである)。

上記の正弦波の式φ(x,t)のtをt+Tに置きかえると

\begin{aligned} ϕ (x, t + T) & = A \sin (ω (t + T) - k x) \\ = A \sin (ω t - k x + ω T) \end{aligned}

となるが正弦関数は周期2πの関数だから

ω T = 2 π, ∴ ω = \frac{2 π}{T}

が成り立たねばならない。
このωとTはそれぞれ角振動数、(時間的な)周期と呼ばれる。

次に振動数について考えよう。単位時間当たりの振動の回数を振動数(または周波数)と呼びνで表わす。そしたら1回振動するのにかかる時間が周期Tな訳だから

ν = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}, ∴ ω = 2 π ν

が成り立つ事が分かる。

次にφ(x,t)のxをx+λに置きかえたら

\begin{aligned} ϕ (x + λ, t) & = A \sin (ω t - k (x + λ)) \\ = A \sin (ω t - k x - k λ) \end{aligned}

となる。これよりωTのときと同様に

k λ = 2 π, ∴ k = \frac{2 π}{λ}

が得られる。上記のkとλはそれぞれ波数、波長と呼ばれる物理量であり、特に波長λは(距離的空間的な)周期を表わす量と言える(波の山〜山、谷〜谷の長さを表わす)。

正弦波の位相速度cは

c = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{λ}{T} = λ \cdot ν, ∴ c = λ ν

で与えられる。

ちなみに言い忘れてたが正弦波の式の係数Aの事を振幅と呼ぶ。