マクスウェルブリッジ

マクスウェルブリッジとは、4つの抵抗器と1つのキャパシタと1つのインダクタをブリッジ型に配置する回路のことである。ブリッジ回路の1種である。イギリスの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルの名にちなむ。

概要[編集]

既知の抵抗器の抵抗値やキャパシタのキャパシタンスで、未知のものの抵抗値やインダクタンスを測定するための回路である。

平衡条件というのは、下記回路図で言うと、電位差 $V$ を $V = 0$ にするということである。

一般にブリッジ回路では

Z_{1} Z_{4} = Z_{2} Z_{3}

と対角線同士をかけたものが同じになる関係が成り立つ。これは、 $V = 0$ より、電圧が分圧される比が等しいということ( $Z_{1} : Z_{2} = Z_{3} : Z_{4}$ )から導かれる。

以下角周波数を $ω$ として、並列接続のときのインピーダンスの関係をパラレルの記号( $a / / b = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ )を用いて表す。
マクスウェルブリッジでは

$Z_{1}$ が抵抗 $R_{1}$ とインダクタ $L_{1}$ の直列接続で $Z_{1} = R_{1} + j ω L_{1}$
$Z_{2}$ が抵抗 $R_{2}$ のみで $Z_{2} = R_{2}$
$Z_{3}$ が抵抗 $R_{3}$ のみで $Z_{3} = R_{3}$
$Z_{4}$ が抵抗 $R_{4}$ とキャパシタ $C_{4}$ ので並列接続 $Z_{4} = R_{4} / / \frac{1}{j ω C_{4}}$

であるので

(R_{1} + j ω L_{1}) (R_{4} / / \frac{1}{j ω C_{4}}) = R_{2} R_{3}

となる。これを整理して

(R_{1} + j ω L_{1}) \frac{R_{4}}{1 + j ω C_{4} R_{4}} = R_{2} R_{3}

分母をはらって

R_{4} (R_{1} + j ω L_{1}) = R_{2} R_{3} (1 + j ω C_{4} R_{4})

これを実部と虚部をそれぞれ比較しやすいようににすると

R_{1} R_{4} + j ω R_{4} L_{1} = R_{2} R_{3} + j ω C_{4} R_{2} R_{3} R_{4}

これの実部より

R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}

また、虚部より

L_{1} = C_{4} R_{2} R_{3}

よって、平衡条件は

{\begin{cases} R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3} \\ L_{1} = C_{4} R_{2} R_{3} \end{cases}

となる。これより $R_{2}, R_{3}, R_{4}, C_{4}$ が既知であれば $R_{1}, L_{1}$ を求めらる。

{\begin{cases} R_{1} = \frac{R_{3}}{R_{4}} R_{2} \\ L_{1} = C_{4} R_{2} R_{3} \end{cases}