直列キャパシタンスブリッジ

直列キャパシタンスブリッジとは、4つの抵抗器と2つのキャパシタをブリッジ型に配置する回路のことである。 ブリッジ回路の1種である。

概要

既知の抵抗器の抵抗値やキャパシタのキャパシタンスで、未知のものの抵抗値やキャパシタンスを測定するための回路である。

平衡条件

平衡条件というのは、下記回路図で言うと、電位差$V$を$V=0$にするということである。

回路図

一般にブリッジ回路では

$Z_{1}Z_{4}=Z_{2}Z_{3}$

と対角線同士をかけたものが同じになる関係が成り立つ。 これは、$V=0$より、電圧が分圧される比が等しいということ($Z_{1}:Z_{2}=Z_{3}:Z_{4}$)から導かれる。

以下角周波数を$\omega$として表す。
キャパシタンスブリッジでは

• $Z_{1}$が抵抗$R_{1}$とキャパシタ$C_{1}$の直列接続で$Z_{1}=R_{1}+{\frac {1}{j\omega C_{1}}}$
• $Z_{2}$が抵抗$R_{2}$のみで$Z_{2}=R_{2}$
• $Z_{3}$が抵抗$R_{3}$とキャパシタ$C_{3}$の直列接続で$Z_{3}=R_{3}+{\frac {1}{j\omega C_{3}}}$
• $Z_{4}$が抵抗$R_{4}$のみで$Z_{2}=R_{4}$

であるので

$R_{4}\left(R_{1}+{\frac {1}{j\omega C_{1}}}\right)=R_{2}\left(R_{3}+{\frac {1}{j\omega C_{3}}}\right)$

となる。これを整理して

$C_{3}R_{4}(1+j\omega C_{1}R_{1})=C_{1}R_{2}(1+j\omega C_{3}R_{3})$

となる。 これの実部より

$C_{3}R_{4}=C_{1}R_{2}$

また、実部の関係を念頭に置いて虚部を比較して

$C_{1}R_{1}=C_{3}R_{3}$

よって、平衡条件は

${\begin{cases}C_{3}R_{4}=C_{1}R_{2}\\C_{1}R_{1}=C_{3}R_{3}\end{cases}}$

となる。これより$R_{2},R_{3},R_{4},C_{3}$が既知であれば$R_{1},C_{1}$を求めらる。

${\begin{cases}C_{1}={\frac {R_{4}}{R_{2}}}C_{3}\\R_{1}={\frac {C_{3}}{C_{1}}}R_{3}={\frac {C_{3}}{{\frac {R_{4}}{R_{2}}}C_{3}}}R_{3}={\frac {R_{2}}{R_{4}}}R_{3}\end{cases}}$

関連項目

• ホイートストンブリッジ
• キャパシタンスブリッジ
• シェーリングブリッジ
• ウィーンブリッジ
• マクスウェルブリッジ
• ヘイブリッジ
• オーウェンブリッジ
• ヘビサイドブリッジ
• コールラウシュブリッジ
• アンダーソンブリッジ