慣性モーメント

慣性モーメントとは、回転運動における慣性を表す物理量。記号は $I$ を用いて表記することが多い。

概要[編集]

ある物体の慣性モーメントは、その物体の各部分の質量(密度)と、回転軸からその部分までの距離の2乗との積の総和である。

I = \int_{V} ρ r^{2} d V

単位は、kg・m^2などがある。

回転軸が重心 $G$ を通る場合に慣性モーメントは最小値 $I_{G}$ をとり、軸が重心から距離 $d$ 離れている場合にその軸の周りの慣性モーメント $I$ は

I = I_{G} + M d^{2}

十分に薄く厚さを無視できる板について、面に垂直な回転軸周りの慣性モーメント $I_{z}$ は同じ点で面を通りかつ面に平行な回転軸周りの2つの慣性モーメント $I_{x}, I_{y}$ の和に等しい。

I_{z} = I_{x} + I_{y}

特に、円板,円環,正方形などの対称性から $I_{x} = I_{y}$ となるような物体では

I_{z} = 2 I_{x} = 2 I_{y}

となって、 $I_{z}$ から $I_{x}, I_{y}$ を求められる。

半径 $a$ で密度一定の質量 $M$ の厚さを無視できる円板を考える。すなわち、z軸方向の距離を無視できる他、密度は $ρ = \frac{M}{π a^{2}}$ になる。

重心を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント $I_{G z}$ は、

I_{G, z} = \int_{r = 0}^{a} \int_{θ = 0}^{2 π} \frac{M}{π a^{2}} r^{2} d r r d θ = \int_{r = 0}^{a} \int_{θ = 0}^{2 π} \frac{M}{π a^{2}} r^{3} d θ d r = \frac{1}{2} M a^{2}

重心から半径方向に $d$ 離れた点を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント $I_{d, z}$ は、平行軸の定理より

I_{d, z} = I_{G, z} + M d^{2} = M (\frac{1}{2} a^{2} + d^{2})

重心を通り面に平行な軸周りの慣性モーメント $I_{G, x} = I_{G, y}$ は、垂直軸の定理より

I_{G, x} = I_{G, y} = \frac{1}{2} I_{G, z} = \frac{1}{4} M a^{2}

質量が並進運動において慣性を表す物理量であることに対して、慣性モーメントは回転運動における慣性を表す物理量である。同様に他の物理量も以下のような対応関係にある。(電気機械音響類似も参照)