慣性モーメント

慣性モーメントとは、回転運動における慣性を表す物理量。記号は $I$ を用いて表記することが多い。

概要[編集]

ある物体の慣性モーメントは、その物体の各部分の質量(密度)と、回転軸からその部分までの距離の2乗との積の総和である。

I=\int _{V}\rho r^{2}dV

単位は、kg・m^2などがある。

回転軸が重心 $G$ を通る場合に慣性モーメントは最小値 $I_{G}$ をとり、軸が重心から距離 $d$ 離れている場合にその軸の周りの慣性モーメント $I$ は

I=I_{G}+Md^{2}

十分に薄く厚さを無視できる板について、面に垂直な回転軸周りの慣性モーメント $I_{z}$ は同じ点で面を通りかつ面に平行な回転軸周りの2つの慣性モーメント $I_{x},I_{y}$ の和に等しい。

I_{z}=I_{x}+I_{y}

特に、円板,円環,正方形などの対称性から $I_{x}=I_{y}$ となるような物体では

I_{z}=2I_{x}=2I_{y}

となって、 $I_{z}$ から $I_{x},I_{y}$ を求められる。

半径 $a$ で密度一定の質量 $M$ の厚さを無視できる円板を考える。すなわち、z軸方向の距離を無視できる他、密度は $\rho ={\frac {M}{\pi a^{2}}}$ になる。

重心を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント $I_{Gz}$ は、

I_{G,z}=\int _{r=0}^{a}\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {M}{\pi a^{2}}}r^{2}drrd\theta =\int _{r=0}^{a}\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {M}{\pi a^{2}}}r^{3}d\theta dr={\frac {1}{2}}Ma^{2}

重心から半径方向に $d$ 離れた点を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント $I_{d,z}$ は、平行軸の定理より

I_{d,z}=I_{G,z}+Md^{2}=M\left({\frac {1}{2}}a^{2}+d^{2}\right)

重心を通り面に平行な軸周りの慣性モーメント $I_{G,x}=I_{G,y}$ は、垂直軸の定理より

I_{G,x}=I_{G,y}={\frac {1}{2}}I_{G,z}={\frac {1}{4}}Ma^{2}

質量が並進運動において慣性を表す物理量であることに対して、慣性モーメントは回転運動における慣性を表す物理量である。同様に他の物理量も以下のような対応関係にある。(電気機械音響類似も参照)

意味など	並進運動	回転運動
力学変数	変位 $x$	角度 $\theta$
力学変数の1階微分	速度 $v$	角速度 $\omega$
力学変数の2階微分	加速度 $\alpha$	角加速度 $\alpha$
力	力 $F$	トルク $\tau$
運動量	運動量 $P$	角運動量 $L$
運動エネルギー	${\frac {1}{2}}mv^{2}$	${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$
抵抗要素	ダンパー $\beta$	回転ダンパー $\beta _{\theta }$
慣性要素	質量 $M$	慣性モーメント $I$
弾性要素	ばね定数 $k$	回転ばね定数 $k_{\theta }$
インピーダンス	機械的インピーダンス $Z_{m}$	回転機械的インピーダンス $Z_{\theta }$
運動方程式	$m\alpha +\beta v+kx=F$	$I\alpha +\beta _{\theta }\omega +k_{\theta }\theta =\tau$