垂直軸の定理

垂直軸の定理とは、十分に薄く厚さを無視できる板について、面に垂直な回転軸周りの慣性モーメント$I_z$は同じ点で面を通りかつ面に平行な回転軸周りの2つの慣性モーメント$I_x,I_y$の和に等しい。$I_z=I_x+I_y$であるという定理。

導出

密度を$\rho$、軸からの微小体積の位置ベクトルをz軸を無視して$\mathit{r}=(x,y)$とする。

$\begin{array}{rl}{I}_z& =\underset{S}{\int }\rho {\mathit{r}}^{2}dS\\ & =\underset{x}{\int }\underset{y}{\int }\rho (x^2+y^2)dydx\\ & =\underset{x}{\int }\underset{y}{\int }\rho y^{2}dydx+\underset{x}{\int }\underset{y}{\int }\rho x^{2}dydx\\ & =I_x+I_y\end{array}$

位置ベクトルをxy成分に分けて、積分をx,yに分けて計算すると第1項は$I_x$第2項は$I_y$にある。

対称性

特に、円板,円環,正方形などの対称性から$I_x=I_y$となるような物体では

$I_z=2I_x=2I_y$

となって、$I_z$から$I_x,I_y$を求められる。

例

円板

半径$a$で密度一定の質量$M$の厚さを無視できる円板を考える。 すなわち、z軸方向の距離を無視できる他、密度は$\rho =\frac{M}{\pi a^2}$になる。

重心を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント$I_{Gz}$は、

$I_{G,z}=\underset{r=0}{\overset{a}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{M}{\pi a^2}{r}^{2}drrd\theta =\underset{r=0}{\overset{a}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{M}{\pi a^2}{r}^{3}d\theta dr=\frac{1}{2}M{a}^2$

重心を通り面に平行な軸周りの慣性モーメント$I_{G,x}=I_{G,y}$は、垂直軸の定理より

$I_{G,x}=I_{G,y}=\frac{1}{2}{I}_{G,z}=\frac{1}{4}M{a}^2$

関連項目

• 慣性モーメント
• 平行軸の定理