平行軸の定理

平行軸の定理とは、回転軸が重心$G$を通る場合に慣性モーメントは最小値$I_G$をとり、軸が重心から距離$d$離れている場合にその軸の周りの慣性モーメント$I$は全質量$M$を用いて$I=I_G+M{d}^2$であるという定理。

導出

密度を$\rho$、軸からの微小体積の位置ベクトルを$\mathit{r}$、重心からの微小体積の位置ベクトルを${\mathit{r}}^{\prime }$、軸からの重心の位置ベクトルを${\mathit{r}}_{\mathit{G}}$とする。

$\begin{array}{rl}I& =\underset{V}{\int }\rho {\mathit{r}}^{2}dV\\ & =\underset{V}{\int }\rho ({\mathit{r}}^{\prime }+{\mathit{r}}_{\mathit{G}}{)}^{2}dV(\because \mathit{r}={\mathit{r}}^{\prime }+{\mathit{r}}_{\mathit{G}})\\ & =\underset{V}{\int }\rho r{\text{'}}^{2}dV+2{\mathit{r}}_{\mathit{G}}\underset{V}{\int }\rho r^{\prime }dV+r_G^2\underset{V}{\int }\rho dV\\ & =I_G+0+r_G^{2}M\\ & =I_G+M{d}^2\end{array}$

位置ベクトルを分解して、内積を各項に分けて定数を積分の前に出すと、第1項は$I_G$そのものになり、第2項は重心の定義より積分=0になり、第3項は重心から距離の2乗に全質量(=積分)を掛けたものになる。

また、$d^2\ge 0$なので$I\ge I_G$となり、これらの等号成立条件は重心を通ることなので、慣性モーメントは重心を軸が通るときに最小になる。

例

円板

半径$a$で密度一定の質量$M$の厚さを無視できる円板を考える。 すなわち、z軸方向の距離を無視できる他、密度は$\rho =\frac{M}{\pi a^2}$になる。

重心を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント$I_{Gz}$は、

$I_{G,z}=\underset{r=0}{\overset{a}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{M}{\pi a^2}{r}^{2}drrd\theta =\underset{r=0}{\overset{a}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{M}{\pi a^2}{r}^{3}d\theta dr=\frac{1}{2}M{a}^2$

重心から半径方向に$d$離れた点を通り面に垂直な軸周りの慣性モーメント$I_{d,z}$は、平行軸の定理より

$I_{d,z}=I_{G,z}+M{d}^2=M(\frac{1}{2}{a}^2+d^2)$

関連項目

• 重心
• 慣性モーメント
• 垂直軸の定理