角運動量

角運動量とは、物理学で扱う物理量の一つである。

古典力学的運動量

古典力学においては、ニュートンの運動方程式から角運動量保存則が導かれる。

$m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {f}}$(ニュートンの運動方程式,$m$:質量,${\boldsymbol {r}}$:位置ベクトル,$t$:時間,${\boldsymbol {f}}$:外力)

これの両辺に右から位置ベクトルをかけて(外積)

${\boldsymbol {r}}\times m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {f}}$

位置と外力の外積(トルク)が0がとき、

${\boldsymbol {r}}\times m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}=0$

ここで

${\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}+{\boldsymbol {r}}\times {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}$

であり、自分自身との外積は0なので

${\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}$

だから

$m{\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}=0$

なので、両辺を時間で一回積分して

${\boldsymbol {r}}\times m{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=const$

速度${\boldsymbol {v}}$は、${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$なので、定数を${\boldsymbol {L}}_{0}$と置いて

${\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {L}}_{0}$

となり、角運動量${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}$は時間に依らずに一定(${\boldsymbol {L}}_{0}$)である(保存する)。

トルク${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {f}}$がある場合は

$m{\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}$

の両辺を時間で一回積分して

${\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\tau }}t+{\boldsymbol {L}}_{0}$

となる。

また、${\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {v}}$を運動量と呼び、上記は

${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {P}}$

${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {\tau }}t+{\boldsymbol {L_{0}}}$

などとも表記できる。

量子力学的運動量

量子力学では、原子核の周りにあるの電子の角運動を扱うことが多い。 電子の角運動量全体を全角運動量といい、軌道角運動量とスピン角運動量の2つからなる。 古典的には、前者は公転に、後者は自転に相当するような角運動量である。 しかし厳密には、電子が公転や自転をしていると考えられているわけではない。 公転については、電子の軌道は円や楕円ではなく、球体やそれ以上に複雑な広がりを持ちさらに確率的に分布している。 自転については、スピンは自転をしているということではなく、そのような値あるいは自由度を考えると現象を説明できるからとして使われる。 逆に公転や自転を考えると、電磁波を放射してエネルギーを失うことや有限の電子の大きさ、超光速の回転などの不可解なことが導かれてしまう。

関連項目

• 運動量
• トルク/モーメント
• ジャイロ効果
• 換算プランク定数