角運動量保存則

角運動量保存則とは、系全体で角運動量の総和は常に一定であるという法則。

概要

古典力学においては、ニュートンの運動方程式から角運動量保存則が導かれる。

1質点の場合

$m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {f}}$(ニュートンの運動方程式,$m$:質量,${\boldsymbol {r}}$:位置ベクトル,$t$:時間,${\boldsymbol {f}}$:外力)

これの両辺に右から位置ベクトルをかけて(外積)

${\boldsymbol {r}}\times m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {f}}$

位置と外力の外積(トルク)が0がとき、

${\boldsymbol {r}}\times m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}=0$

ここで

${\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}+{\boldsymbol {r}}\times {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}$

であり、自分自身との外積は0なので

${\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}$

だから

$m{\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}=0$

なので、両辺を時間で一回積分して

${\boldsymbol {r}}\times m{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=const$

速度${\boldsymbol {v}}$は、${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$なので、定数を${\boldsymbol {L}}_{0}$と置いて

${\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {L}}_{0}$

となり、角運動量${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}$は時間に依らずに一定(${\boldsymbol {L}}_{0}$)である(保存する)。

トルク${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {f}}$がある場合は

$m{\frac {d({\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}})}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}$

の両辺を時間で一回積分して

${\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\tau }}t+{\boldsymbol {L}}_{0}$

となる。

また、${\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {v}}$を運動量と呼び、上記は

${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {P}}$

${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {\tau }}t+{\boldsymbol {L_{0}}}$

などとも表記できる。

関連項目

• 保存則一覧
• 運動量保存則
• エネルギー保存則
• ケプラーの法則