角運動量保存則

角運動量保存則とは、系全体で角運動量の総和は常に一定であるという法則。

概要[編集]

m \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = f

(ニュートンの運動方程式,

m

r

t

f

これの両辺に右から位置ベクトルをかけて(外積)

r \times m \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = r \times f

位置と外力の外積(トルク)が0がとき、

r \times m \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = 0

ここで

\frac{d (r \times \frac{d r}{d t})}{d t} = \frac{d r}{d t} \times \frac{d r}{d t} + r \times \frac{d^{2} r}{d t^{2}}

であり、自分自身との外積は0なので

\frac{d (r \times \frac{d r}{d t})}{d t} = r \times \frac{d^{2} r}{d t^{2}}

だから

m \frac{d (r \times \frac{d r}{d t})}{d t} = 0

なので、両辺を時間で一回積分して

r \times m \frac{d r}{d t} = c o n s t

速度 $v$ は、 $v = \frac{d r}{d t}$ なので、定数を $L_{0}$ と置いて

r \times m v = L_{0}

となり、角運動量 $L = r \times m v$ は時間に依らずに一定( $L_{0}$ )である(保存する)。

トルク $τ = r \times f$ がある場合は

m \frac{d (r \times \frac{d r}{d t})}{d t} = τ

の両辺を時間で一回積分して

r \times m v = τ t + L_{0}

となる。

また、 $P = m v$ を運動量と呼び、上記は

L = r \times P

L = τ t + L_{0}

などとも表記できる。