対称座標法

対称座標法とは、三相交流の電力系統を解析する手法である。線形座標変換の1種である。

概要

電力系統は三相交流で構成されていることが多いが、その解析は複雑であった。 これを簡単にするのが対称座標法であり、。電力系統の定常状態や過渡状態、故障時の計算などで応用される。

この対称座標法は3変数の変数変換であって、(a相,b相,c相)と(零相,正相,逆相)とを相互に変換する。 前者は物理的にも存在して基本的には位相のずれ以外同じ3相であり、後者は概念的な相でこれらの重ね合わせとして系統を解析するものである。

変数変換

変数変換などを議論するにあたり、値の記し方やよく使う変形について先に述べる。

• 電圧を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V} 、電流を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): I 、インピーダンスを構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z} とする。
• 電圧,電流について、各相すなわち(a相,b相,c相)と(零相,正相,逆相)の値であることを明記するために、下付き添え字を用いる。この添え字は順番に、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a,b,c,0,1,2} とする。(零相→0,正相→1,逆相→2に注意)
• 電圧,電流を(a相,b相,c相)と(零相,正相,逆相)について並べたベクトルを定義し、それぞれ下付き添え字に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle abc,012} を用いて表記する。
• (a相,b相,c相)と(零相,正相,逆相)におけるインピーダンスをそれぞれ、3×3行列で定義して、それぞれ下付き添え字に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle abc,012} を用いて表記する。
• インピーダンス行列の各成分はある電圧成分とある電流成分の関係を記述し、それを下付き添え字で表す。つまり、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_x,I_y} の関係を記述するインピーダンスを構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{xy}} とする。(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x,y} は構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a,b,c,0,1,2} の何れかで構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=y} であっても良く、その場合はインピーダンス行列の対角成分である)
• 虚数単位を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle j} で表記する。(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle i} だと電流と混同するため)
• 位相の進み・遅れを示すにあたって、1の立方根のうちの一つである複素数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a=\frac{-1+j\sqrt3}{2}} を用いる。
• この構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): a をベクトルオペレータと呼び、その偏角は120°であるのでベクトルオペレータをかけることは位相を120°進めることにあたる。(フェーザをかくとわかる)
• ベクトルオペレータは次のような性質を満たしていることがわかる。構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a^3=1} (定義より3乗が1),構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle a^2=a^*} (2乗が複素共役)。(実際に計算するとわかる)
• ベクトルオペレータを用いて、行列構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & a & a^2 \\1 & a^2 & a \\\end{pmatrix}} を定義する。
• 上記の行列の逆行列は構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & a^2 & a \\1 & a & a^2 \\\end{pmatrix}} である。構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C,C^{-1}} をかけると確かに、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle CC^{-1}=C^{-1}C=E_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} } となることがわかる。

電圧

• 変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_{012}=CV_{abc}}
• 逆変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_{abc}=C^{-1}V_{012}}

成分を明示して書くと

• 変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \\ \end{pmatrix} }
• 逆変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \\ \end{pmatrix} }

電流

• 変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle I_{012}=CI_{abc}}
• 逆変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle I_{abc}=C^{-1}I_{012}}

成分を明示して書くと

• 変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \\ \end{pmatrix} }
• 逆変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ \end{pmatrix} }

インピーダンス

結論から示すと

• 変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{012}=CZ_{abc}C^{-1}}
• 逆変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{abc}=C^{-1}Z_{012}C}

成分を明示して書くと

• 変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_{00} & Z_{10} & Z_{20} \\ Z_{01} & Z_{11} & Z_{21} \\ Z_{02} & Z_{12} & Z_{22} \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_{aa} & Z_{ba} & Z_{ca} \\ Z_{ab} & Z_{bb} & Z_{cb} \\ Z_{ac} & Z_{bc} & Z_{cc} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \\ \end{pmatrix} }
• 逆変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_{aa} & Z_{ba} & Z_{ca} \\ Z_{ab} & Z_{bb} & Z_{cb} \\ Z_{ac} & Z_{bc} & Z_{cc} \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_{00} & Z_{10} & Z_{20} \\ Z_{01} & Z_{11} & Z_{21} \\ Z_{02} & Z_{12} & Z_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \\ \end{pmatrix} }

以下は導出である。
abc相でのオームの法則より

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_{abc}=Z_{abc}I_{abc}}

なので、これに電圧と電流の逆変換(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_{abc}=C^{-1}V_{012},I_{abc}=C^{-1}I_{012}} )を代入して

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C^{-1}V_{012}=Z_{abc}C^{-1}I_{012}}

両辺に左から構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} をかけて

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_{012}=CZ_{abc}C^{-1}I_{012}}

これと正逆零相でのオームの法則

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_{012}=Z_{012}I_{012}}

を比べて

• 変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{012}=CZ_{abc}C^{-1}}

これの両辺に左から構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C^{-1}} を、右から構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} をかけて

• 逆変換:構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{abc}=C^{-1}Z_{012}C}

負荷が平衡のときのインピーダンス

負荷が平衡であるときのインピーダンス行列はその対称性(平衡であること)より

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{aa}=Z_{bb}=Z_{cc}} かつ構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{ab}=Z_{bc}=Z_{ca}=Z_{ac}=Z_{ba}=Z_{cb}}

なので

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_s=Z_{aa}=Z_{bb}=Z_{cc}} 、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_m=Z_{ab}=Z_{bc}=Z_{ca}=Z_{ac}=Z_{ba}=Z_{cb}} と置いて

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{abc}= \begin{pmatrix} Z_s & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s \\ \end{pmatrix} }

これをインピーダンスの変換(構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_{012}=CZ_{abc}C^{-1}} )に代入して整理すると

• 変換構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_{00} & Z_{10} & Z_{20} \\ Z_{01} & Z_{11} & Z_{21} \\ Z_{02} & Z_{12} & Z_{22} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_s+2Z_m & 0 & 0 \\ 0 & Z_s-Z_m & 0 \\ 0 & 0 & Z_s-Z_m \\ \end{pmatrix} }

となって、正逆零相においては各相は相互インピーダンスを持たず、独立して解析できる。 対角成分に残った(非零の)インピーダンスは対称分インピーダンスと言い。左上から順番に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_0,Z_1,Z_2} とする。

またこのことより、行列構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} は負荷が平衡であるときのインピーダンス行列を対角化する行列であることがわかる。 以下では、このような対角化を与える行列が実際に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} であるかについて確認する。 インピーダンス行列の固有値問題は固有ベクトル構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): v と固有値構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle z_e} を用いて

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Zv=z_ev}

すなわち

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_s & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s \\ \end{pmatrix} v= \begin{pmatrix} z_e & 0 & 0 \\ 0 & z_e & 0 \\ 0 & 0 & z_e \\ \end{pmatrix} v}

なので

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_s-z_e & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s-z_e & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s-z_e \\ \end{pmatrix} v= 0}

よって

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \det \begin{pmatrix} Z_s-z_e & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s-z_e & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s-z_e \\ \end{pmatrix} = 0}

サラスの公式などを用いて行列式を計算して構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle z_e} の3次方程式を得る

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (z_e-(Z_s+2Z_m))(z_e-(Z_s-Z_m))^2=0}

よって固有値は

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle z_e=Z_s+2Z_m,Z_s-Z_m} (ただし、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_s-Z_m} は2重解)

固有値を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_s-z_e & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s-z_e & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s-z_e \\ \end{pmatrix} v= 0} に代入して固有ベクトルを求める
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} -2Z_m & Z_m & Z_m \\ Z_m & -2Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_m & -2Z_m \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{pmatrix} = 0} より任意定数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_1} を用いて 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{pmatrix} = \frac{c_1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} }
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} Z_m & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_m \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{pmatrix} = 0} より任意定数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_2,c_3} を用いて 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{pmatrix} = \frac{c_2}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ a^2 \\ a \\ \end{pmatrix} + \frac{c_3}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \\ \end{pmatrix} }
以上で求めた固有ベクトルを順番に並べると行列構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} と一致する。

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \\ \end{pmatrix} =C }

したがって行列構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C} はインピーダンス行列の対角化を与え、その対角成分は固有値であるから

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle CZC^{-1}= \begin{pmatrix} Z_s+2Z_m & 0 & 0 \\ 0 & Z_s-Z_m & 0 \\ 0 & 0 & Z_s-Z_m \\ \end{pmatrix} }

となる。

対称分インピーダンス

基本的に静止器では構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_1=Z_2} 、回転機では構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_1 \neq Z_2} となる。

変圧器

正相と逆相の対称分インピーダンスは、抵抗と励磁インダクタンスを無視し漏れインダクタンスを用い、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_1=Z_2} とすることが多い。零相の対称分インピーダンスは、中性点接地方式や鉄心の構造に依存して大きく変化する。例えば、非接地にすると零相インピーダンスは無限大になる。

送電線

正相と逆相の対称分インピーダンスは等しく、零相の対称分インピーダンスより大きくなる。 つまり、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_1=Z_2>Z_0}

同期発電機

正相・逆相・零相電流が作る回転磁界の有無および方向が異なるため、 磁路や鎖交数も異なる。よって、インピーダンスも異なり、 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Z_1>Z_2>Z_0}

等価回路

三相交流の解析には、単相等価回路をという1相だけを扱い、その後位相などを考慮して3相分とする方法がある。 しかし、この方法が適用可能なのは電源が平衡であるという条件下であり、不平衡では適用できない。 ここで、対称座標法を用いて、三相平衡回路(正逆零相)に分けて解き、重ね合わせの理を適用するという方法がある。なぜなら、#負荷が平衡のときのインピーダンスにもあるように、正逆零相においては各相は相互インピーダンスを持たず、独立して解析できることが多いからである。 独立して解析する際に、正逆零相の等価回路をつくり、さらにそれらの単相等価回路をつくることで解きやすくなる。ただし、零相においては結線の仕方(Y型,Δ型)や中性点接地方式によっては零相インピーダンスについて慎重に考える必要がある。

関連項目

• 三相交流
• Y-Δ変換とΔ-Y変換
• αβ変換
• dq変換
• γδ変換
• 2端子パラメーター
• 単位法