Y-Δ変換とΔ-Y変換

Y-Δ変換やΔ-Y変換は三相交流で使われるΔ形回路とY形回路を相互に変換する変換である。

非対称なインピーダンスをもつ回路

本項では、非対称なインピーダンスをもつ回路を含む、一般のY-Δ変換・Δ-Y変換について説明する。 三相を$a,b,c$とする。

電圧

Y型回路の電圧を$V_{0},V_{a},V_{b},V_{c}$($V_{0}$は中性点の電圧), Δ型回路のc→b→a方向の電圧を$V_{ab},V_{bc},V_{ca}$ キルヒホッフの電圧則より

$V_{ab}=V_{a}-V_{b}$

$V_{bc}=V_{b}-V_{c}$

$V_{ca}=V_{c}-V_{a}$

$V_{ab}+V_{bc}+V_{ca}=0$

電流

Y型回路の中性点に流れ込む電流を$I_{a},I_{b},I_{c}$, Δ型回路のa→b→c方向の電流を$I_{ab},I_{bc},I_{ca}$とする。 キルヒホッフの電流則より

$I_{a}=I_{ab}-I_{ca}$

$I_{b}=I_{bc}-I_{ab}$

$I_{c}=I_{ca}-I_{bc}$

$I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$

インピーダンス

Y型回路のインピーダンスを$Z_{a},Z_{b},Z_{c}$, Δ型回路のインピーダンスを$Z_{ab},Z_{bc},Z_{ca}$とする。 前述の電圧と電流およびオームの法則より

$Z_{a}={\frac {Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}}$

$Z_{b}={\frac {Z_{bc}Z_{ab}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}}$

$Z_{c}={\frac {Z_{ca}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}}$

$Z_{ab}={\frac {Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{c}}}$

$Z_{bc}={\frac {Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{a}}}$

$Z_{ca}={\frac {Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{b}}}$

以下は詳しい導出である。

${\frac {V_{a}}{Z_{a}}}=I_{a}=I_{ab}-I_{ca}={\frac {V_{ab}}{Z_{ab}}}-{\frac {V_{ca}}{Z_{ca}}}={\frac {V_{a}-V_{b}}{Z_{ab}}}-{\frac {V_{c}-V_{a}}{Z_{ca}}}$

${\frac {V_{b}}{Z_{b}}}=I_{b}=I_{bc}-I_{ab}={\frac {V_{bc}}{Z_{bc}}}-{\frac {V_{ab}}{Z_{ab}}}={\frac {V_{b}-V_{c}}{Z_{bc}}}-{\frac {V_{a}-V_{b}}{Z_{ab}}}$

${\frac {V_{c}}{Z_{c}}}=I_{b}=I_{ca}-I_{bc}={\frac {V_{ca}}{Z_{ca}}}-{\frac {V_{bc}}{Z_{bc}}}={\frac {V_{c}-V_{a}}{Z_{ca}}}-{\frac {V_{b}-V_{c}}{Z_{bc}}}$

なので

$V_{0}=\left(1-{\frac {Z_{a}}{Z_{ab}}}-{\frac {Z_{a}}{Z_{ca}}}\right)V_{a}+{\frac {Z_{a}}{Z_{ab}}}V_{b}+{\frac {Z_{a}}{Z_{ca}}}V_{c}$

$V_{0}=\left(1-{\frac {Z_{b}}{Z_{bc}}}-{\frac {Z_{b}}{Z_{ab}}}\right)V_{b}+{\frac {Z_{b}}{Z_{bc}}}V_{c}+{\frac {Z_{b}}{Z_{ab}}}V_{a}$

$V_{0}=\left(1-{\frac {Z_{c}}{Z_{ca}}}-{\frac {Z_{c}}{Z_{bc}}}\right)V_{c}+{\frac {Z_{c}}{Z_{ca}}}V_{a}+{\frac {Z_{c}}{Z_{bc}}}V_{b}$

である。これらは任意の$V_{a},V_{b},V_{c}$について成立するため、3式の$V_{a},V_{b},V_{c}$の係数は一致するから

$\left(1-{\frac {Z_{a}}{Z_{ab}}}-{\frac {Z_{a}}{Z_{ca}}}\right)={\frac {Z_{b}}{Z_{ab}}}={\frac {Z_{c}}{Z_{ca}}}\cdots (1)$

$\left(1-{\frac {Z_{b}}{Z_{bc}}}-{\frac {Z_{b}}{Z_{ab}}}\right)={\frac {Z_{c}}{Z_{bc}}}={\frac {Z_{a}}{Z_{ab}}}\cdots (2)$

$\left(1-{\frac {Z_{c}}{Z_{ca}}}-{\frac {Z_{c}}{Z_{bc}}}\right)={\frac {Z_{a}}{Z_{ca}}}={\frac {Z_{b}}{Z_{bc}}}\cdots (3)$

となる。整理して

$\left(1-{\frac {Z_{a}(Z_{ab}+Z_{ca})}{Z_{ab}Z_{ca}}}\right)={\frac {Z_{a}Z_{bc}}{Z_{ab}Z_{ca}}}(\because (1)(3))$

$\left(1-{\frac {Z_{b}(Z_{bc}+Z_{ab})}{Z_{bc}Z_{ab}}}\right)={\frac {Z_{b}Z_{ca}}{Z_{bc}Z_{ab}}}(\because (2)(1))$

$\left(1-{\frac {Z_{c}(Z_{ca}+Z_{bc})}{Z_{ca}Z_{bc}}}\right)={\frac {Z_{c}Z_{ab}}{Z_{ca}Z_{bc}}}(\because (3)(2))$

よって

$Z_{a}={\frac {Z_{ab}Z_{ca}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}}$

$Z_{b}={\frac {Z_{bc}Z_{ab}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}}$

$Z_{c}={\frac {Z_{ca}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca}}}$

また、それぞれ

$Z_{ca}={\frac {Z_{c}Z_{ab}}{Z_{b}}}(\because (1))$と$Z_{bc}={\frac {Z_{c}Z_{ab}}{Z_{a}}}(\because (2))$を$Z_{a}$に

$Z_{ab}={\frac {Z_{a}Z_{bc}}{Z_{c}}}(\because (2))$と$Z_{ca}={\frac {Z_{a}Z_{bc}}{Z_{b}}}(\because (3))$を$Z_{b}$に

$Z_{bc}={\frac {Z_{b}Z_{ca}}{Z_{a}}}(\because (3))$と$Z_{ab}={\frac {Z_{b}Z_{ca}}{Z_{c}}}(\because (1))$を$Z_{c}$に

代入して

$Z_{a}={\frac {Z_{ab}{\frac {Z_{c}Z_{ab}}{Z_{b}}}}{Z_{ab}+{\frac {Z_{c}Z_{ab}}{Z_{a}}}+{\frac {Z_{c}Z_{ab}}{Z_{b}}}}}$

$Z_{b}={\frac {Z_{bc}{\frac {Z_{a}Z_{bc}}{Z_{c}}}}{Z_{bc}+{\frac {Z_{a}Z_{bc}}{Z_{b}}}+{\frac {Z_{a}Z_{bc}}{Z_{c}}}}}$

$Z_{c}={\frac {Z_{ca}{\frac {Z_{b}Z_{ca}}{Z_{a}}}}{Z_{ca}+{\frac {Z_{b}Z_{ca}}{Z_{c}}}+{\frac {Z_{b}Z_{ca}}{Z_{a}}}}}$

よって

$Z_{ab}={\frac {Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{c}}}$

$Z_{bc}={\frac {Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{a}}}$

$Z_{ca}={\frac {Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}+Z_{c}Z_{a}}{Z_{b}}}$

対称三相交流回路

三相交流では三つの電源(発電機のコイルと考えても、変圧器のコイルと考えてもよい)から3本の導線を使って負荷に電力を供給するものである。三相の接続は二つの方式がある。Ｙの形に接続したものをＹ接続または星形接続といい、Ｙの中心部である点Ｎを中性点という。この場合、それぞれ一つの電源が一つの負荷に電力を供給し、電流I₁、I₂、I₃は3つの電源を出ていずれも中性点Ｎ同士を結ぶ導線を通って帰ると考える。

これに対して正三角形に接続したものをΔ接続または環状接続という。電力関係では、両方の接続方式ともよく用いられるが、、Ｙ接続は主に送電線で用いられ、Δ接続は主に配電線で用いられる。

対称3相交流電圧のＹｰΔ変換

1. Ｙ接続の中性点からa相、b相、c相へ向かう電圧V_a、V_b、V_cを相電圧または星形電圧という。
2. Δ接続の正三角形の頂点a、b、cとの間の各相間(例えばa-b相間など)の電圧を線間電圧という。またＹ接続の各相間の電圧も線間電圧という。これをV_ab、V_bc、V_caとする。
3. 相電圧と線間電圧の関係は

$V_{a}=V_{b}=V_{c}=V_{Y}$

$V_{ab}=V_{bc}=V_{ca}=V_{\Delta }$

とすると、三平方の定理より、

${\sqrt {3}}V_{Y}=V_{\Delta }$

となる。つまり、相電圧√3V_Y=線間電圧V_Δとなる。

また、対称3相交流電圧のフェーザ図からは、

${\dot {V_{ab}}}={\dot {V_{a}}}-{\dot {V_{b}}}=V-(-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}})V=({\frac {3}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}})V={\sqrt {3}}V({\frac {\sqrt {3}}{2}}+j{\frac {1}{2}})$

=√3V∠30°=V₁∠30°

${\dot {V_{bc}}}={\dot {V_{b}}}-{\dot {V_{c}}}=(-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}})V-({\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}})V=-j{\sqrt {3}}V={\sqrt {3}}V(-j{\sqrt {3}})$

=√3V∠-90°=V₁∠-90°

${\dot {V_{ca}}}={\dot {V_{c}}}-{\dot {V_{a}}}=(-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}})V-V=(-{\frac {3}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}})V={\sqrt {3}}V(-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+j{\frac {1}{2}})$

=√3V∠150°=V₁∠150°

対称3相交流電流のY-Δ変換

Δ接続の正三角形の頂点a、b、cから外部へ向かう電流

${\dot {I_{a}}}$, ${\dot {I_{b}}}$, ${\dot {I_{c}}}$

を線電流もしくは相電流という。また、Δ上を流れる電流

${\dot {I_{ab}}}$

${\dot {I_{bc}}}$

${\dot {I_{ca}}}$

を環状電流という。

今、I_abを基準としてI_ab =I_r∠0°とすると両者間の関係を示すフェーザ図を作成する。

中点Ｎから0°、-120°、120°からのベクトルを

${\dot {I_{ab}}}={\dot {I_{r}}}$

${\dot {I_{bc}}}=(-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}$

${\dot {I_{ca}}}=(-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}$

とすると、キルヒホッフの第1則から、

${\dot {I_{a}}}={\dot {I_{ab}}}-{\dot {I_{ca}}}$

${\dot {I_{b}}}={\dot {I_{bc}}}-{\dot {I_{ab}}}$

${\dot {I_{c}}}={\dot {I_{ca}}}-{\dot {I_{bc}}}$

となるので、次の式が得られる。

${\dot {I_{a}}}={\dot {I_{ab}}}-{\dot {I_{ca}}}={\dot {I_{r}}}-(-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}=({\frac {3}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}$

${\dot {I_{b}}}={\dot {I_{bc}}}-{\dot {I_{ab}}}=(-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}-{\dot {I_{r}}}=(-{\frac {3}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}$

${\dot {I_{c}}}={\dot {I_{ca}}}-{\dot {I_{bc}}}=(-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}-(-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}){\dot {I_{r}}}=j{\sqrt {3}}{\dot {I_{r}}}$

以上より次の関係が得られる。

線電流(相電流)Ｉ=環状電流Ｉ_r×√3