三次方程式

三次方程式（さんじほうていしき）とは、 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0(a\ne 0)$ の形で表される方程式である。

三次方程式の解の公式

実数を係数とする一変数の三次方程式 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0(a\ne 0)$ の解は

$x=\{\begin{array}{l}-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2+p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2+p^3}}\\ -\frac{b}{3a}+\omega \sqrt[3]{q+\sqrt{q^2+p^3}}+{\omega }^2\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2+p^3}}\\ -\frac{b}{3a}+{\omega }^2\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2+p^3}}+\omega \sqrt[3]{q-\sqrt{q^2+p^3}}\\ \end{array}$

ただし、 $p=-\frac{b^2}{9a^2}+\frac{c}{3a},q=-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a},\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

この解法は、自著アルス・マグナにて解法を公表した人物の名を冠して「カルダノの公式」として知られる。

公表に至る経緯はアルス・マグナを参照

解の公式の導出

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0(a\ne 0)$ を解く。

立方完成

まず両辺を a で割ると、

$x^3+\frac{b}{a}{x}^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

展開公式より $(x+k{)}^3=x^3+3k{x}^2+3k^{2}x+k^3$ なので、 $\frac{b}{a}{x}^2$ を $3k{x}^2$ に変形することで $(x+k{)}^3$ の形を作り出すのを目標とする。

見やすくするため $3B=\frac{b}{a},6C=\frac{c}{a},2D=\frac{d}{a}$ とおいて変形すると、

$\begin{array}{rl}{x}^3+3B{x}^2+6Cx+2D& =0\\ x^3+3B{x}^2+3B^{2}x+B^3& =3B^{2}x+B^3-6Cx-2D\\ (x+B{)}^3& =3(B^2-2C)x+B^3-2D\\ (x+B{)}^3& =3(B^2-2C)(x+B)-3(B^2-2C)B+B^3-2D\\ (x+B{)}^3& =3(B^2-2C)(x+B)-2(B^3-3BC+D)\\ X^3& =-3pX+2q\\ \end{array}$

ただし $X=x+B,p=-B^2+2C,q=-B^3+3BC-D$ とおいた。

カルダノの方法

ここで $X=u+v$ と置換し、 u と v の対称式の形に整える。

$\begin{array}{rl}{X}^3& =-3pX+2q\\ (u+v{)}^3& =-3p(u+v)+2q\\ u^3+3uv(u+v)+v^3& =-3p(u+v)+2q\\ u^3+v^3-2q& =-3p(u+v)-3uv(u+v)\\ u^3+v^3-2q& =-3(p+uv)(u+v)\\ \end{array}$

これを満たすためには、以下の2式が成り立てばよい。

$\{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=2q\\ uv=-p\iff u^3{v}^3=-p^3\\ \end{array}$

二次方程式の解と係数の関係より、 $t=u^3,v^3$ を2解に持つ方程式は $t^2-2qt-p^3=0$ だとわかる。

二次方程式の解の公式より $u^3,v^3$ を求める。 u, v は対称なので、片方を $u^3$ 、もう片方を $v^3$ と決めてよい。

$\{\begin{array}{l}{u}^3=q+\sqrt{q^2+p^3}\\ v^3=q-\sqrt{q^2+p^3}\\ \end{array}$

ここから u, v それぞれ3個の立方根が得られる。

これらを1の立方根 $1,\omega ,{\omega }^2(\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},{\omega }^3=1)$ を用いて表すと以下のようになる。

$u=\{\begin{array}{l}{u}_0=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2+p^3}}\\ u_1=\omega u_0\\ u_2={\omega }^2{u}_0\\ \end{array},v=\{\begin{array}{l}{v}_0=\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2+p^3}}\\ v_1=\omega v_0\\ v_2={\omega }^2{v}_0\\ \end{array}$

ここで $uv=p$ を満たす $X=u+v$ は以下の3種類に絞られる。

$X=\{\begin{array}{l}{X}_0=u_0+v_0\\ X_1=u_1+v_2=\omega u_0+{\omega }^2{v}_0\\ X_2=u_2+v_1={\omega }^2{u}_0+\omega v_0\\ \end{array}$

以上より、求める三次方程式の解 $x=-B+X$ は以下のように表される。

$x=\{\begin{array}{l}{x}_0=-B+u_0+v_0\\ x_1=-B+\omega u_0+{\omega }^2{v}_0\\ x_2=-B+{\omega }^2{u}_0+\omega v_0\\ \end{array}$

関連項目

• 零次方程式 - 一次方程式 - 二次方程式 - 三次方程式 - 四次方程式 - 五次方程式
• 三次関数