単振動

物理学のニュートン力学に於ける単振動とは壁に固定したばねに物体を繋いで引っ張った時に生じる左右の振動及びそれに類似した振動である。

概要[編集]

上述のよーな運動を行ったとき横方向の距離を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} 、横方向の外力を構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F_x} とおくと以下のフックの法則が成り立つ(比例定数のkは「ばね定数」と呼ばれている)。；

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F_x=-kx}

この法則にニュートンの運動方程式を代入すると

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m\ddot{x}=-kx}

となる。ここで構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega ^2=k/m} とおけば上記2階線形微分方程式は

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \ddot{x}+\omega ^2 x=0}

と書ける。この微分方程式の特性方程式は

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha^2 +\omega ^2=0}

であり、解くと構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \alpha=\pm i\omega } が得られる。従って上記微分方程式の一般解は次式で与えられる。；

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=c_1 \cos{\omega t}+c_2 \sin{\omega t}}

更に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle c_1=A\sin{\theta_0}, c_2=A\cos{\theta_0} } とおけば上記の一般解は

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x= A\sin{(\omega t+\theta_0)} }

と表わせる。

上述の解の係数Aを振幅といい正弦の中身を位相と呼ぶ。特に構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta_0} は時刻tが零のときの位相なので初期位相と呼ばれる。

上記の解の独立変数にt+T代入したら

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} x(t+T) &=A\sin{(\omega (t+T)+ \theta_0)} \\&=A\sin{(\omega t+\theta_0 +\omega T)} \end{align}}

となるが正弦関数は周期構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 2\pi} の周期関数であるから上述の単振動の公式に対して

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x(t)=x(t+T)}

とゆー周期関数の性質が成り立つためには上式の構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega T} に関して以下の如き関係式

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega T=2\pi}

が成り立たねばならない。従って

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}}

とゆー等式が成立する。

ところで単位時間当たりの振動の回数を振動数といいνで表わすんだが1回振動するのにかかる時間が周期Tなんだから振動数と周期には以下の関係が成り立つ事になる。；

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \nu=\frac{1}{T}}

これより以下の如き公式が導かれた事になる。；

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega=2\pi \nu}

上述のωは角振動数と呼ばれている。

※ちなみに振動数の単位は「Hz(ヘルツ)」、角振動数の単位は「rad/s(ラジアン毎秒)」と呼ぶ。

単振動のエネルギー[編集]

上記一般解の角度をφとおいて微分したら

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \dot{x}=-A\omega \cos{\phi}}

となるが、これを運動エネルギーの公式に代入したら

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle K=\frac{1}{2}m\dot{x}^2=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2{\phi}}

となる。また構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F_x=-m\omega^2 x} と位置エネルギーの公式より

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align}U &=-\int F_x dx=\int m\omega^2 x dx=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \\&=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2{\phi} \end{align}}

が得られる。これらを力学的エネルギー保存則

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle K+U=E}

に代入したら以下の如く単振動のエネルギーが導かれる。；

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle E=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2}

従って単振動のエネルギーは角振動数の2乗と振幅の2乗に比例する。

単振り子[編集]

振り子の微小に振動させると、その運動は単振動で近似できる。このとき、振り子の等時性が成立し、振動が微小であれば振り子の周期は一定となる。構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}} (単振り子の周期構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): T は、振り子の長さ構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle l} と重力加速度構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g} にのみ依存する) 1mの振り子では約1秒で半周期分の運動をする。そのため、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1[s]=\pi \sqrt{\frac{1[m]}{g}}} となって、これから重力加速度を計算すると、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle g=\pi^2[m/s^2]} のように、円周率の2乗になる。これは偶然ではない。地球の周長の四千万分の1(=地球の北極点から赤道までの子午線距離の一千万分の1)を1mと定める以前の、mの定義はこの振り子の等時性を利用した定義であった。振り子の半周期が1秒になるような長さを1メートルと定めていた。その後幾度かの改訂によって1mの定義は変化したが、大きくずれないようにして改訂された。そのため、重力加速度≒円周率の2乗となっている。(ただし、重力加速度も地球のどこにいるかで少し変わるし、円周率は3を主張する者もいる。) なお現在のSIでは、mを光速を使って定義している。

LC共振回路[編集]

インダクタとキャパシタを接続した回路に、初期値として非零の電圧や電流を与えると、単振動を起こす。 LC共振、バネと質点の運動と同じ形をもつ微分方程式で記述される物理現象である。バネや質点に空気抵抗などダンパー(減衰成分)がつくことは、電気抵抗がつくことに対応し、どちらの現象も実際にはこれらの成分があるので、徐々にエネルギーを失って減衰する。両者の対応関係を以下に示す。

バネマス(ダンパ)系	(R)LC共振回路	役割など
変位構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x} (位置エネルギーをためる)	電荷構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle Q} (電気エネルギーをためる)	振動するもの(これをXとする)
速度構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle v=\frac{d}{dt}x} (運動エネルギーをためる)	電流構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle I_C=\frac{d}{dt}Q} (磁気エネルギーをためる)	Xの微分
力構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle F=m\frac{d}{dt}v=-kx-\beta v}	電圧構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle V_L=-L\frac{d}{dt}I_C=Q/C+RI_C}	Xの2回微分
質量構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m}	インダクタンス構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): L	Xの微分を一定にしようとする(動きにくさ)
減衰係数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \beta}	電気抵抗構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle R}	エネルギーを消費して減衰させる(損失)
ばね定数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k}	キャパシタンスの逆数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle 1/C}	Xを逆方向に動かす
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2}+\beta \frac{dx}{dt}+kx=0}	構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle L\frac{d^2 Q}{dt^2}+R \frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=0}	微分方程式
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega=\sqrt{k/m}}	構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega=\sqrt{1/LC}}	損失ゼロでの角振動数(角周波数)構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \omega}
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle T=2\pi \sqrt{m/k}}	$T=2\pi {\sqrt {1/LC}}$	損失ゼロでの周期 $T=2\pi /\omega$
$x=C_{1}\sin(\omega t)+C_{2}\cos(\omega t)$	$Q=C_{1}\sin(\omega t)+C_{2}\cos(\omega t)$	損失ゼロでの微分方程式の解

このように、バネマス(ダンパ)系、(R)LC共振回路ともに、全エネルギーが2種類の形態を行ったり来たりする振動である。言うならばmとk,Lと1/Cのせめぎ合いであり、損失ゼロのときの角振動数や周期に表れている。質量が重い質点では速度が変化しづらく、バネが強いと速度が変化しやすい。同じように、大きなインダクタでは電流が変化しづらく、小さなキャパシタでは電流が変化しやすい。

単振動

目次

概要[編集]

単振動のエネルギー[編集]

単振り子[編集]

LC共振回路[編集]

関連項目[編集]

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