力学的エネルギー保存則

物理学のニュートン力学に於ける力学的エネルギー保存則(または力学的エネルギー保存の法則)とは運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定であるとゆー事を主張する法則である。

概要

ニュートンの運動方程式

• $m{\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {F}}\cdots (1)$

に於いて外力が位置にしか依存しない即ち

${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F({\boldsymbol {r}})}}$

が成り立っているとする。

(1)の両辺に(スカラー積の形で)${\boldsymbol {\dot {r}}}$を掛けると

$m{\boldsymbol {\dot {r}}}\cdot {\boldsymbol {\ddot {r}}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {\dot {r}}}$

となる。ここで${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\dot {r}}}$(これは速度)とおいて上式の両辺を積分したら

$\int m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\ddot {r}}}dt=\int {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {\dot {r}}}dt+C$

となるが$d{\boldsymbol {v}}/dt={\boldsymbol {\ddot {r}}}$(これは速度の時間微分即ち加速度)より上記積分は

$\int m{\boldsymbol {v}}\cdot d{\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}+C$

と書ける(置換積分)。左辺の積分は簡単に計算できて

${\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}=\int {\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}+C$

が導かれる。ここで

$K={\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2},U=-\int {\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}},C=E$

とおけば等式

• $K+U=E$

が得られる。これが所謂力学的エネルギー保存則である。 Kは運動エネルギー、Uは位置エネルギー(ポテンシャル)を表わしている。積分定数Cを書き換えたものであるEは全エネルギー表わす。

保存力

前節で示したように位置エネルギーUには

$U=-\int {\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}$

とゆー関係が成り立つが、ここで

$dU=-{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}$

とゆー式が成立する事が分かる。この左辺のdUは全微分を用いて

${\begin{aligned}dU&={\frac {\partial U}{\partial x}}dx+{\frac {\partial U}{\partial y}}dy+{\frac {\partial U}{\partial z}}dz\\&=\nabla U\cdot d{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}$

と表わせる。これから

• ${\boldsymbol {F}}=-\nabla U$

とゆー関係式が導ける。上記関係式を満たす外力${\boldsymbol {F}}$ を保存力と呼ぶ。

関連項目

• エネルギー保存則