強制振動

強制振動とは、外力などで強制された振動。

概要[編集]

固有角振動数付近の周波数を持つ外力に対しては、強い共振を起こす。この共振はQ値によって評価される。

バネマスダンパ系[編集]

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta {\frac {dx}{dt}}+kx=0

(質量

m

,減衰係数

\beta

,ばね定数

k

)

で記述されるバネマスダンパ系を考える。
これに外力 $F_{0}\exp(j\omega t)$ (三角関数の複素指数関数表現、オイラーの公式参照)を加えると、非斉次方程式になる。

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta {\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\exp(j\omega t)

非斉次方程式の解は、斉次方程式の一般解と非斉次方程式特殊解の和である。ここで、斉次方程式の一般解は減衰振動である。一方で、非斉次方程式特殊解の和として考えられるのが外力の周波数に追従するものである。

x=x_{0}\exp(j\omega t)

を仮定して、代入すると

\left(-m\omega ^{2}+j\omega \beta +k\right)x_{0}\exp(j\omega t)=F_{0}\exp(j\omega t)

なので

x_{0}={\frac {F_{0}}{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+j\omega \beta }}

(ただし、

\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

)

とすれば、 $x=x_{0}\exp(j\omega t)$ は解になっている。
これより、振幅 $|x_{0}|$ が最大化するのは、分母 $|m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+j\omega \beta |^{2}=m\omega ^{4}+(\beta ^{2}-2m\omega _{0}^{2})\omega ^{2}+m\omega _{0}^{4}$ が最小化するときである。 $\omega ^{2}$ についての二次式と見なすと、 $\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{2m}}$ で最小値をとるので、振幅が最大になる周波数は $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{2m}}}}$ である。 $\omega _{0}$ は固有角振動数であり、固有角振動数付近の周波数で共振することがわかる。