減衰振動

減衰振動とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなる振動。

概要[編集]

空気抵抗などの減衰のある振り子やバネマスダンパ系が、減衰振動の例である。

理想的な単振動は振幅が減少することのない振動であるが、実際の系には減衰成分があるため減衰振動に該当することが多い。減衰成分は、物理的にはエネルギーを消費するものである。

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta {\frac {dx}{dt}}+kx=0

m

\beta

k

)

で記述されるバネマスダンパ系は減衰振動の例である。
この微分方程式の解は、 $m,\beta ,k$ の関係によって次のいずれかの形になる。(詳しくは微分方程式#2階線形微分方程式を参照)

x=C_{1}\exp \left({\frac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4km}}}{2m}}x\right)+C_{2}\exp \left({\frac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4km}}}{2m}}x\right)({\mbox{if }}\beta ^{2}\neq 4km)

x=C_{1}\exp \left({\frac {-\beta }{2m}}x\right)+C_{2}x\exp \left({\frac {-\beta }{2m}}x\right)({\mbox{if }}\beta ^{2}=4km)

ただし、 $C_{1},C_{2}$ は任意定数で初期条件などで決定できる。

通常 $m,\beta ,k>0$ なので、以上いずれの指数関数も減衰する部分 $\exp \left({\frac {-\beta }{2m}}x\right)$ が掛かっているので減衰することがわかる。また、 $\beta ^{2}-4km$ の符号によって振動の波形が異なる。