減衰振動

減衰振動とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなる振動。

概要[編集]

空気抵抗などの減衰のある振り子やバネマスダンパ系が、減衰振動の例である。

理想的な単振動は振幅が減少することのない振動であるが、実際の系には減衰成分があるため減衰振動に該当することが多い。減衰成分は、物理的にはエネルギーを消費するものである。

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + β \frac{d x}{d t} + k x = 0

m

β

k

)

で記述されるバネマスダンパ系は減衰振動の例である。
この微分方程式の解は、 $m, β, k$ の関係によって次のいずれかの形になる。(詳しくは微分方程式#2階線形微分方程式を参照)

x = C_{1} \exp (\frac{- β + \sqrt{β^{2} - 4 k m}}{2 m} x) + C_{2} \exp (\frac{- β - \sqrt{β^{2} - 4 k m}}{2 m} x) (if β^{2} \neq 4 k m)

x = C_{1} \exp (\frac{- β}{2 m} x) + C_{2} x \exp (\frac{- β}{2 m} x) (if β^{2} = 4 k m)

ただし、 $C_{1}, C_{2}$ は任意定数で初期条件などで決定できる。

通常 $m, β, k > 0$ なので、以上いずれの指数関数も減衰する部分 $\exp (\frac{- β}{2 m} x)$ が掛かっているので減衰することがわかる。また、 $β^{2} - 4 k m$ の符号によって振動の波形が異なる。