減衰振動
減衰振動とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなる振動。
概要[編集]
空気抵抗などの減衰のある振り子やバネマスダンパ系が、減衰振動の例である。
理想的な単振動は振幅が減少することのない振動であるが、実際の系には減衰成分があるため減衰振動に該当することが多い。 減衰成分は、物理的にはエネルギーを消費するものである。
バネマスダンパ系[編集]
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2}+\beta \frac{dx}{dt}+kx=0} (質量構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m} ,減衰係数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \beta} ,ばね定数構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle k} )
で記述されるバネマスダンパ系は減衰振動の例である。
この微分方程式の解は、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m,\beta,k}
の関係によって次のいずれかの形になる。(詳しくは微分方程式#2階線形微分方程式を参照)
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=C_1 \exp \left( \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4km}}{2m} x \right)+C_2 \exp \left( \frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4km}}{2m} x \right) (\mbox{if } \beta^2 \neq 4km)}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle x=C_1 \exp \left( \frac{-\beta}{2m} x \right)+C_2 x \exp \left( \frac{-\beta}{2m} x \right) (\mbox{if } \beta^2 = 4km)}
ただし、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle C_1,C_2} は任意定数で初期条件などで決定できる。
通常構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle m,\beta,k > 0} なので、以上いずれの指数関数も減衰する部分構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \exp \left( \frac{-\beta}{2m} x \right)} が掛かっているので減衰することがわかる。 また、構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \beta^2 - 4km} の符号によって振動の波形が異なる。
- 符号が正だと指数関数の肩はいずれも実数なので、振動しない単なる減衰になる(不減衰振動)。
- 符号が負だと指数関数の肩はいずれも複素数なので、実関数に直すと三角関数と指数関数の積になり(オイラーの公式を参照)、振動しながら減衰する(減衰振動)。
- 符号が0は、両者の境であり、振動しない単なる減衰になる(臨界減衰)。