円運動

物理学の古典力学に於ける円運動とは円周に沿って回転する物体の運動を指す。

概要[編集]

円運動してる物体の位置ベクトルを ${\boldsymbol {r}}=(x,y)$ で表すと

{\begin{cases}x=r\cos(\omega t+\theta _{0})\\y=r\sin(\omega t+\theta _{0})\end{cases}}

が成り立つ。ここでrは位置ベクトルの長さ、ωは角速度、tは時間、θ₀は初期位相を表す。

尚、円運動の速度ベクトルは(通常の速度ベクトルと同様に)次式によって定義される。；

{\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=({\dot {x}},{\dot {y}})=(v_{x},v_{y})

これを成分表示したら

{\begin{cases}{\dot {x}}=-\omega r\sin {\phi }\\{\dot {y}}=\omega r\cos {\phi }\end{cases}}

で表される。(ちなみにφ=ωt+θ₀と略した。)

上述の(円運動の)位置ベクトルと速度ベクトルに対して内積をとってみると

{\begin{aligned}{\boldsymbol {r}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=(r\cos {\phi },r\sin {\phi })\cdot (-\omega r\sin {\phi },\omega r\cos {\phi })\\&=-\omega r^{2}\cos {\phi }\sin {\phi }+\omega r^{2}\cos {\phi }\sin {\phi }\\&=0\end{aligned}}

が成り立つ。従って ${\boldsymbol {r}}\perp {\boldsymbol {v}}$ であり、位置ベクトル(動径)と速度ベクトルは互いに直交している(即ち速度ベクトルは円の接線方向に向いている)事が分かる。

雨が降る日にさしている傘を回転させると上述の速度ベクトルの向きと同様に雨粒が傘の骨と垂直に飛び散ってるのが確認できる☔️(※よい子の皆は人前でやっちゃ駄目ですよ！)

ちなみに上述の速度ベクトルのノルム即ち速さを計算すると

{\begin{aligned}v&=|{\boldsymbol {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\&={\sqrt {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}{\phi }+\omega ^{2}r^{2}\cos ^{2}{\phi }}}\\&={\sqrt {\omega ^{2}r^{2}}}\end{aligned}}

\therefore v=r\omega

とゆー公式が得られる。

また加速度のx,y成分を計算したら

a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}=-\omega ^{2}r\cos {\phi }=-\omega ^{2}x

a_{y}={\frac {dv_{x}}{dt}}=-\omega ^{2}r\sin {\phi }=-\omega ^{2}y

が求まる。ここで加速度ベクトルを ${\boldsymbol {a}}=(a_{x},a_{y})$ とおけば

\therefore {\boldsymbol {a}}=-\omega ^{2}{\boldsymbol {r}}

とゆー公式が導かれる。上述の加速度ベクトルは位置ベクトルと逆向き即ち円運動の中心方向を向いてるので向心加速度ベクトルと呼ばれている。

上述の向心加速度ベクトルのノルムを求めると

|{\boldsymbol {a}}|^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}=\omega ^{4}(x^{2}+y^{2})=\omega ^{4}r^{2}

\therefore |{\boldsymbol {a}}|=\omega ^{2}r

であるが、これから以下の向心力(または求心力)の公式が得られる。

円運動をその円運動の平面と同じ方向から見ると、単振動に見える。