リュードベリの公式

リュードベリの公式とはバルマーの公式を一般化したものであり、水素のスペクトル線の波長を計算することを可能にする公式である。

式[編集]

1889年、スウェーデンの物理学者のヨハネス・リュードベリは、この公式を用いて、水素の全ての遷移(可視スペクトルの一部にあるバルマー系列 $L (n = 2)$ だけでなく、紫外線領域のライマン系列 $K (n = 1)$ 、及び赤外線領域のプント系列 $M (n = 3)$ 、ブラケット系列 $N (n = 4)$ 、ハンフリーズ系列 $P (n = 6)$ ) に対するバルマーの公式を一般化した。

\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{m^{2}})

この2つの項の差がスペクトル線となり、これらは遷移における原子のエネルギー準位を表す。

$n = 2$ の場合、バルマー系列は次のようになる。

\frac{1}{λ} = \frac{4}{B} (\frac{1}{4} - \frac{1}{m^{2}}) = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{m^{2}})

m = 3, 4, 5, 6, 7 . . .

量子数 $n$ が一定で $m$ が変化する場合、水素のさまざまなスペクトル系列が得られる。

水素スペクトル系列
軌道	量子数 $n$	量子数 $m$	スペクトル系列	最小波長	最大波長
				$λ_{m i n} = n^{2} / R_{H} = n^{2} 91$ nm	線 $α$ $(m - n = 1)$
K	$1$	$2 \to \infty$	ライマン系列	91 nm	121 nm
L	$2$	$3 \to \infty$	バルマー系列	365 nm	656 nm
M	$3$	$4 \to \infty$	パッシェン系列	820 nm	1.874 nm
N	$4$	$5 \to \infty$	ブラケット系列	1.458 nm	4.051 nm
O	$5$	$6 \to \infty$	プント系列	2.278 nm	7.456 nm
P	$6$	$7 \to \infty$	ハンフリーズ系列	3.281 nm	12.365 nm

1908年、物理学者のヴァルター・リッツは、リュードベリ=リッツの公式を用いて、水素以外の元素にもリュードベリの公式を一般化した。

\frac{1}{λ} = R_{M} [\frac{1}{(n + a)^{2}} - \frac{1}{(m + b)^{2}}]

各元素はそれぞれ固有のリュードベリ定数 $R_{M}$ を有する。すべての水素原子(つまり、最外殻軌道に電子が1つしかない原子)について、 $R_{M}$ は「無限遠」のリュードベリ定数から、次のように導出できる。

R_{M} = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{m_{e}}{M}}

例えば水素原子の場合、

R_{H} = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{m_{e}}{m_{p}}} = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{1}{1836}} = 0.999, 455, 634 R_{\infty}

「無限遠」におけるリュードベリ定数は、

R_{\infty} = \frac{m_{e} c α^{2}}{4 π ℏ} = \frac{m_{e} e^{4}}{8 ε_{0}^{2} h^{3} c} = 1.097, 373, 156, 850, 8 (65) \times 1 0^{7} m^{- 1}