等加速度直線運動

物理学のニュートン力学に於ける等加速度直線運動 (とうかそくどちょくせんうんどう)とは物体が一定の加速度で真っ直ぐ進む運動を指す。自由落下などがその典型的な例である^[1]。

概要[編集]

一定の同方向の力を受け続ける物体の運動に表れる現象。x座標に沿った等加速度直線運動に於ける加速度は次式で表わされる。(※ただしαは定数)；

\ddot{x} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = α

ここで上式を積分すれば以下のように速度の式が得られる。；

v = \dot{x} = \frac{d x}{d t} = α t + c_{1}

これを更に積分すれば次のように位置ないし通過距離の式が求まる。；

x = \frac{1}{2} α t^{2} + c_{1} t + c_{2}

ここで上記2式に初期条件

\dot{x} (0) = v_{0}, x (0) = x_{0}

を課せば以下の公式が導ける(※上記の初期条件はそれぞれ初速度、初期位置を表わす)。

${\begin{cases} v = \dot{x} = \frac{d x}{d t} = α t + v_{0} \\ x = \frac{1}{2} α t^{2} + v_{0} t + x_{0} \end{cases}$

これが等加速度直線運動の基本的な公式である。

ちなみに2番目の公式の初期位置を移項して両辺に2α掛けると簡単な計算により

\begin{aligned} 2 α (x - x_{0}) & = (α t)^{2} + 2 v_{0} \cdot α t \\ = (v - v_{0})^{2} + 2 v_{0} (v - v_{0}) \\ = (v - v_{0}) (v + v_{0}) \end{aligned}

が言える。従って以下の如き等式が成り立つ事が分かる。；

公式は物理学の授業で扱う。変位の式と速度の式が微積分の関係であることは建前として扱わない。なお、微小変化Δxなどを用いて(厳密な極限の議論なしで)説明することもある。
証明（微分・積分の関係）は数学の授業で行う。

国鉄クモハユニ64形電車が空車で単行運転で60km/hの速度で運転している。制動をかけてから停止するまで400mかかった。この間の時間、失われた運動エネルギーを求めよ。