証明

数理論理学における証明 (英: proof) とは文の有限列で、特定の性質を満たすものである。数学の通常の証明と区別が必要な場合、形式的証明 (英: formal proof) ということもある。

定義

文の有限列${\varphi }_0,...{\varphi }_n$と理論Tが以下の性質を満たすとき、この有限列をφ_nのTからの証明という。

• 任意の自然数$0\le i\le n$について、
  • φ_iが論理公理である、もしくは
  • φ_iがTの元(公理)である、もしくは
  • ${\varphi }_0,...{\varphi }_{i-1}$に含まれる文に推論規則を適用してφ_iを導出できる。

文φの理論Tからの証明が存在するとき、φはTから証明可能 (英: provable) である、またはφはTの定理 (英: theory) であるといい、$T⊢\varphi$と表す。