エルミート多項式

エルミート多項式とは、常微分方程式 $\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+2n\right)H_{n}(x)=0$ を満たす多項式 $H_{n}(x)$ のこと。

概要[編集]

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{d^{n}x}}e^{-x^{2}}

を与えられる。
微分を含まないように表すと、総和・床関数・階乗・指数などを用いて、

H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}

である。
添え字が偶数のときは偶関数、奇数の時は奇関数になる。

H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)

である。

を満たす。

n=0～5までを示す。