エルミート多項式

エルミート多項式とは、常微分方程式 $(\frac{d^{2}}{d x^{2}} - 2 x \frac{d}{d x} + 2 n) H_{n} (x) = 0$ を満たす多項式 $H_{n} (x)$ のこと。

概要[編集]

H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d^{n} x} e^{- x^{2}}

を与えられる。
微分を含まないように表すと、総和・床関数・階乗・指数などを用いて、

H_{n} (x) = n! \sum_{m = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} \frac{(- 1)^{m}}{m! (n - 2 m)!} (2 x)^{n - 2 m}

である。
添え字が偶数のときは偶関数、奇数の時は奇関数になる。

H_{n} (- x) = (- 1)^{n} H_{n} (x)

である。

を満たす。

n=0～5までを示す。