ルジャンドル多項式

ルジャンドル多項式とは、ルジャンドルの微分方程式 $\frac{d}{d x} ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} P_{n} (x)) + l (l + 1) P_{n} (x) = 0$ を満たすルジャンドル関数のうち次数が非負整数の多項式。(lは任意の複素数)

概要[編集]

三次元における中心力に対するシュレーディンガー方程式を解く際に登場する。微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の1つであり、ロドリーグの公式(ロドリゲスの公式)によって直交多項式系

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{2} - 1)^{n}

を与えられる。
微分を含まないように表すと、総和・二項係数・指数などを用いて、

P_{n} (x) = 2^{n} \sum_{k = 0}^{n} x^{k} (\binom{n}{k}) (\begin{matrix} \frac{n + k + 1}{2} \\ n \end{matrix})

である。
各ルジャンドル多項式 $P_{n} (x)$ は以下のテイラー展開

\frac{1}{\sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} P_{n} (x) t^{n}

の係数になる。
添え字が偶数のときは偶関数、奇数の時は奇関数になる。式で表記すると、

P_{n} (- x) = (- 1)^{n} P_{n} (x)

である。

漸化式[編集]

3項間漸化式(ボネの漸化式)

$(n + 1) P_{n + 1} (x) = (2 n + 1) x P_{n} (x) - n P_{n - 1} (x)$

を満たす。

一覧[編集]

n=0～5までを示す。

$P_{0} (x) = 1$
$P_{1} (x) = x$
$P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)$
$P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{2} - 3 x)$
$P_{4} (x) = \frac{1}{8} (35 x^{4} - 30 x^{2} + 3)$
$P_{5} (x) = \frac{1}{8} (63 x^{5} - 70 x^{3} + 15 x)$

ずらしルジャンドル多項式[編集]

ずらしルジャンドル多項式

{\tilde{P}}_{n} (x) = P_{n} (2 x - 1)

は、ロドリーグの公式では

{\tilde{P}}_{n} (x) = \frac{1}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{2} - x)^{n}

であり、微分を含まないように表すと、

{\tilde{P}}_{n} (x) = (- 1)^{n} \sum_{n} k = 0 (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) (- x)^{k}

係数が幾分簡単になるが、偶関数や奇関数といった対称性は失われる。

一覧[編集]

n=0～3までを示す。

$P_{0} (x) = 1$
$P_{1} (x) = 2 x - 1$
$P_{2} (x) = 6 x^{2} - 6 x + 1$
$P_{3} (x) = 20 x^{3} - 30 x^{2} + 12 x - 1$

ルジャンドルの陪多項式[編集]

ルジャンドルの陪多項式は、ルジャンドルの陪微分方程式 $\frac{d}{d x} ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} P_{l}^{m} (x)) + (l (l + 1) - \frac{m^{2}}{1 - x^{2}}) P_{l}^{m} (x) = 0$ を満たす。
量子力学の球面調和関数に登場する。
ルジャンドル多項式で表せて、

P_{l}^{m} (x) = (1 - x^{2})^{\frac{| m |}{2}} \frac{d^{| m |}}{d x^{| m |}} P_{l} (x) (m = 0, \pm 1, \pm 2 \dots \pm l)

である。

ルジャンドル多項式

目次

概要[編集]

漸化式[編集]

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ずらしルジャンドル多項式[編集]

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ルジャンドルの陪多項式[編集]

関連項目[編集]

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