ルジャンドル多項式

ルジャンドル多項式とは、ルジャンドルの微分方程式 ${\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right)+l(l+1)P_{n}(x)=0$ を満たすルジャンドル関数のうち次数が非負整数の多項式。(lは任意の複素数)

概要

三次元における中心力に対するシュレーディンガー方程式を解く際に登場する。 微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の1つであり、 ロドリーグの公式(ロドリゲスの公式)によって直交多項式系

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}$

を与えられる。
微分を含まないように表すと、総和・二項係数・指数などを用いて、

$P_{n}(x)=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\dbinom {n}{k}}{\begin{pmatrix}{\frac {n+k+1}{2}}\\n\end{pmatrix}}$

である。
各ルジャンドル多項式$P_{n}(x)$は以下のテイラー展開

${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$

の係数になる。
添え字が偶数のときは偶関数、奇数の時は奇関数になる。式で表記すると、

$P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)$

である。

漸化式

3項間漸化式(ボネの漸化式)

• $(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)$

を満たす。

一覧

n=0～5までを示す。

• $P_{0}(x)=1$
• $P_{1}(x)=x$
• $P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)$
• $P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{2}-3x)$
• $P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$
• $P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)$

ずらしルジャンドル多項式

ずらしルジャンドル多項式

${\tilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)$

は、ロドリーグの公式では

${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-x)^{n}$

であり、 微分を含まないように表すと、

${\tilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{n}{k=0}{\dbinom {n}{k}}{\dbinom {n+k}{k}}(-x)^{k}$

係数が幾分簡単になるが、偶関数や奇関数といった対称性は失われる。

一覧

n=0～3までを示す。

• $P_{0}(x)=1$
• $P_{1}(x)=2x-1$
• $P_{2}(x)=6x^{2}-6x+1$
• $P_{3}(x)=20x^{3}-30x^{2}+12x-1$

ルジャンドルの陪多項式

ルジャンドルの陪多項式は、ルジャンドルの陪微分方程式 ${\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{l}^{m}(x)\right)+\left(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)P_{l}^{m}(x)=0$ を満たす。
量子力学の球面調和関数に登場する。
ルジャンドル多項式で表せて、

$P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{\frac {|m|}{2}}{\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)(m=0,\pm 1,\pm 2\cdots \pm l)$

である。

関連項目

• 波動関数
• スツルム＝リウヴィル型微分方程式
• エルミート多項式
• ラゲールの多項式/ラゲールの陪多項式