ルジャンドル多項式
ルジャンドル多項式とは、ルジャンドルの微分方程式 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx}\left( (1-x^2) \frac{d}{dx} P_{n}(x) \right) + l(l+1) P_{n}(x)=0 } を満たすルジャンドル関数のうち次数が非負整数の多項式。(lは任意の複素数)
概要[編集]
三次元における中心力に対するシュレーディンガー方程式を解く際に登場する。 微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の1つであり、 ロドリーグの公式(ロドリゲスの公式)によって直交多項式系
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n}
を与えられる。
微分を含まないように表すと、総和・二項係数・指数などを用いて、
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{n}(x)=2^n \sum_{k=0}^{n}x^k{\dbinom {n}{k}} \begin{pmatrix} \frac{n+k+1}{2} \\ n \end{pmatrix} }
である。
各ルジャンドル多項式構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{n}(x)}
は以下のテイラー展開
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n}
の係数になる。
添え字が偶数のときは偶関数、奇数の時は奇関数になる。式で表記すると、
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^nP_{n}(x)}
である。
漸化式[編集]
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
を満たす。
一覧[編集]
n=0～5までを示す。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{0}(x)=1}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{1}(x)=x}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{2}(x)=\frac{1}{2} (3x^2-1)}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{3}(x)=\frac{1}{2} (5x^2-3x)}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{4}(x)=\frac{1}{8} (35x^4-30x^2+3)}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{5}(x)=\frac{1}{8} (63x^5-70x^3+15x)}
ずらしルジャンドル多項式[編集]
ずらしルジャンドル多項式
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde {P}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)}
は、ロドリーグの公式では
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde {P}_{n}(x)=\frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-x)^n}
であり、 微分を含まないように表すと、
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \tilde {P}_{n}(x)=(-1)^n \sum_{n}{k=0} \dbinom {n}{k} \dbinom {n+k}{k}(-x)^k}
係数が幾分簡単になるが、偶関数や奇関数といった対称性は失われる。
一覧[編集]
n=0～3までを示す。
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{0}(x)=1}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{1}(x)=2x-1}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{2}(x)=6x^2-6x+1}
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{3}(x)=20x^3-30x^2+12x-1}
ルジャンドルの陪多項式[編集]
ルジャンドルの陪多項式は、ルジャンドルの陪微分方程式
構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{d}{dx} \left( (1-x^2) \frac{d}{dx} P_{l}^m(x) \right) +\left( l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}\right) P_{l}^m(x)=0 }
を満たす。
量子力学の球面調和関数に登場する。
ルジャンドル多項式で表せて、
- 構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「https://ja.wikipedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle P_{l}^m(x)=(1-x^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_{l}(x) (m=0,\pm 1,\pm 2 \cdots \pm l)}
である。