初等関数

初等関数 (しょとうかんすう)とは、代数関数^[1]、指数関数と三角関数に、これらの逆関数及び合成関数を作る操作を有限回ほどこして得られる関数をいう。

微分[編集]

初等関数の微分は初等関数である。
初等関数は初等関数の組み合わせによってつくられるので、その微分は以下に示すような基本的な初等関数の微分と、微分法(積の微分法,合成関数の微分法,逆関数の微分法)を用いれば求まる。 (もっと言えば、多項式関数の微分はべき関数の微分さえ覚えればわかるので、下の表の定数関数～無理関数(立方根)は覚えるのではなく、導ける方が良い。)

関数名	$f(x)$	$f^{'}(x)$	導関数名
定数関数	$C$	$0$	定数関数(0)
一次関数	$ax+b$	$a$	定数関数
二次関数	$ax^{2}+bx+c$	$2ax+b$	一次関数
三次関数	$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$	$3ax^{2}+2bx+c$	二次関数
有理関数(反比例)	${\frac {1}{x}}$	${\frac {-1}{x^{2}}}$	有理関数(2次の反比例)
有理関数(2次の反比例)	${\frac {1}{x^{2}}}$	${\frac {-2}{x^{3}}}$	有理関数(3次の反比例)
無理関数(平方根)	${\sqrt {x}}$	${\frac {-1}{2{\sqrt {x}}}}$	無理関数(平方根の逆数)
無理関数(立方根)	${\sqrt[{3}]{x}}$	${\frac {-1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}$	無理関数(立方根の2乗の逆数)
指数関数	$e^{x}$	$e^{x}$	指数関数
対数関数	$\log(x)$	${\frac {1}{x}}$	有理関数(反比例)
余弦関数	$\cos(x)$	$-\sin(x)$	正弦関数
正弦関数	$\sin(x)$	$\cos(x)$	余弦関数
双曲線余弦関数	$\cosh(x)$	$\sinh(x)$	双曲線正弦関数
双曲線正弦関数	$\sinh(x)$	$\cosh(x)$	双曲線余弦関数