積の微分法

数学の微積分学分野に於ける積の微分法とは2つ(以上)の関数を掛け算した形の関数に対する微分法の事である。微積分の創始者の1人であるドイツの数学者ゴッドフリート・W・ライプニッツに因んでライプニッツ則とも呼ばれる。

概要

2つの関数$f=f(x),g=g(x)$に対する積の微分法は次式で表される。；

• $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

証明

ここでは導関数の定義式を用いた証明を行う事にする。微分すべき関数を$h(x)=f(x)g(x)$とおいてこの関数の増分を

$\mathrm{\Delta }h=f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)$

と書く事にすると以下の如き極限が成り立つ。； $\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{\Delta }h}{\mathrm{\Delta }x}& =\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\frac{\{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)\}g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)\{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)\}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & \to f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x),(\mathrm{\Delta }x\to 0)\end{array}$

(証明終) (※分子に同じもの「$f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)$」を引いて足すとゆー変形を行った。)

この微分法を高校生の頃「微分そのまま、そのまま微分」と記憶した人も多いと思われる。中には「前微分、後ろそのままプラス、前そのまんまの後ろの微分」と記憶した者もいるかもしれない。なお、前と後ろは逆でも構わない。

使用例

この微分法則を用いると微分の公式

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

が証明できる。実際$(x{)}^{\prime }=1$及び上記公式が番号nの時に成り立つものであると仮定すれば番号がn+1のとき積の微分法より

$\begin{array}{rl}(x^{n+1}{)}^{\prime }& =(x^n\cdot x{)}^{\prime }=(x^n{)}^{\prime }\cdot x+x^n\cdot 1\\ & =n{x}^{n-1}\cdot x+x^n=(n+1)x^n\end{array}$

が成り立つ(数学的帰納法)。(証明終)

関連項目

• 部分積分:積の微分法の逆とも考えられる。
• 商の微分法:積の微分法の特殊形とも考えられる。
• 一般ライプニッツ則:積の微分法の一般化。